概率统计Python计算：连续型随机变量分布（norm）

本文主要是介绍概率统计Python计算：连续型随机变量分布（norm），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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scipy.stats的norm对象表示正态分布，下表说明norm的几个常用函数。

函数名	参数	功能
rvs(loc, scale, size)	loc，scale：分布参数 $\mu$ 和 $\sigma$ ，缺省值分别为0和1，size：产生的随机数个数，缺省值为1	产生size个随机数
pdf(x, loc, scale)	x：自变量取值，loc，scale：与上同	概率密度函数 $f (x)$
cdf(x, loc, scale)	x，loc，scale：与上同	累积概率函数（分布函数） $F (x)$
ppf(q, loc, scale)	q：分位点函数自变量，loc，scale：与上同	分布函数的反函数 $F^{-1}(q)$
sf(x, loc, scale)	x：自变量取值，loc，scale：与上同	残存函数 $1 - F (x)$
isf(q, loc, scale)	q：分位点函数自变量，loc，scale：与上同	残存函数的反函数 $S^{-1}(q)$

注意norm对象的各函数的参数loc表示对称轴位置，此参数对应正态分布的参数 $\mu$ ，缺省值为0。scale表示缩放比例，对应正态分布参数的 $\sigma^2$ 算术根 $\sigma$ ，缺省值为1。
例1 设 $X$ ~ $N(\mu, \sigma^2)$ ，试计算 $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)$ ， $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)$ 和 $P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)$ 。
解：
$P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=P(-\sigma<X-\mu<\sigma)=P\left(-1<\frac{X-\mu}{\sigma}<1\right)=2\Phi(1)-1.$
相仿地可得 $P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)= 2\Phi(2)-1=0.9544$ 及 $P(\mu-3\sigma<X<\mu+3\sigma)= 2\Phi(3)-1$ 。下列代码完成计算

p1=2*norm.cdf(1)-1			#计算2Phi(1)-1
p2=2*norm.cdf(2)-1			#计算2Phi(2)-1
p3=2*norm.cdf(3)-1			#计算2Phi(3)-1
print('P(mu-sigma<X<mu+sigma)=%.4f'%p1)
print('P(mu-2sigma<X<mu+2sigma)=%.4f'%p2)
print('P(mu-3sigma<X<mu+3sigma)=%.4f'%p3)

程序的第2~4行计算的是标准正态分布的分布函数在1、2、3处的值 $\Phi(1)$ 、 $\Phi(2)$ 和 $\Phi(3)$ 的值，故调用norm（第1行导入）的cdf函数并使用loc和scale参数的默认值0和1。程序运行输出：

P(mu-sigma<X<mu+sigma)=0.6827
P(mu-2sigma<X<mu+2sigma)=0.9545
P(mu-3sigma<X<mu+3sigma)=0.9973

由此可见，服从参数为 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 的正态分布的随机变量 $X$ 其值落在区间 $(\mu-3\sigma, \mu+3\sigma)$ 内几乎是肯定的事。这就是所谓的“3 $\sigma$ 法则”，其几何意义如图2-15所示。
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例2 某企业准备通过招聘考试招收职工，根据考试分数，从高分到低分分别录取正式职工280人，临时工20人。报考的人数是1657，考试满分是400分。已知考试成绩 $X$ ~ $\sigma^2)$ ，其中 $\sigma^2$ 未知。此外，360分以上的高分考生31人。设某考生得256分，问他能否被录取？能否被聘为正式工？
解：由于考试成绩 $X$ ~ $N(\mu, \sigma^2)$ ，其中 $\mu=166$ ， $\sigma^2$ 未知。设 $X$ 的分布函数为 $F (x)$ 。按题意有 $P(X\geq 360)=31/1657$ ，即 $P(X\leq 360)=1-P(X\geq 360)=1-31/1657=1626/1657$ 。利用标准化
$\frac{1626}{1657}=P(X\leq 360)=F(360)=\Phi\left(\frac{360-166}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{194}{\sigma}\right).$
即 $\sigma=194/\Phi^{-1}\left(\frac{1626}{1657}\right)$ 。记 $X$ 的残存函数 $S (x) = 1 - F (x)$ ，设录取员工的最低分数为 $x_1$ ，则按题意有 $S(x_1)=1-F(x_1)=P(X\geq x_1)=300/1657$ ，于是 $x_1=S^{-1}\left(\frac{300}{1657}\right)$ 。相仿地，设录取的正式员工的最低分数为 $x_2$ ，则 $x_2=S^{-1}\left(\frac{280}{1657}\right)$ 。分别比较考生成绩与 $x_1$ ， $x_2$ 的大小，即可判断他是否能被录取为临时工，或正式工。下列代码完成本例计算。

from scipy.stats import norm            #导入norm
mu=166                                  #mu=166
scor=256                                #考生成绩scor
q1=31/1657                              #高分概率q1
q2=300/1657                             #录取概率q2
q3=280/1657                             #录取为正式员工概率q3
x=norm.isf(q=q1)                        #x=Phi^(-1)(1-q1)
sigma=(360-mu)/x                        #计算sigma
x1=norm.isf(q=q2, loc=166, scale=sigma) #x1=F^(-1)(1-q2)为最低录取分数
x2=norm.isf(q=q3, loc=166, scale=sigma) #x2=F^(-1)(1-q3)正式员工最低分数
print('x1<=scor is %s'%(x1<=scor))      #比较x1与scor
print('x2<=scor is %s'%(x2<=scor))      #比较x2与scor