概率统计Python计算：连续型随机变量分布（norm）

本文主要是介绍概率统计Python计算：连续型随机变量分布（norm），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

scipy.stats的norm对象表示正态分布，下表说明norm的几个常用函数。

函数名	参数	功能
rvs(loc, scale, size)	loc，scale：分布参数$\mu$和$\sigma$，缺省值分别为0和1，size：产生的随机数个数，缺省值为1	产生size个随机数
pdf(x, loc, scale)	x：自变量取值，loc，scale：与上同	概率密度函数$f(x)$
cdf(x, loc, scale)	x，loc，scale：与上同	累积概率函数（分布函数）$F(x)$
ppf(q, loc, scale)	q：分位点函数自变量，loc，scale：与上同	分布函数的反函数$F^{-1}(q)$
sf(x, loc, scale)	x：自变量取值，loc，scale：与上同	残存函数$1-F(x)$
isf(q, loc, scale)	q：分位点函数自变量，loc，scale：与上同	残存函数的反函数$S^{-1}(q)$

注意norm对象的各函数的参数loc表示对称轴位置，此参数对应正态分布的参数$\mu$，缺省值为0。scale表示缩放比例，对应正态分布参数的${\sigma }^2$算术根$\sigma$，缺省值为1。
例1 设$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$，试计算$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )$，$P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )$和$P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )$。
解：
$$P(\mu -\sigma <X<\mu +\sigma )=P(-\sigma <X-\mu <\sigma )=P\left(-1<\frac{X-\mu }{\sigma }<1\right)=2\Phi (1)-1.$$
相仿地可得$P(\mu -2\sigma <X<\mu +2\sigma )=2\Phi (2)-1=0.9544$及$P(\mu -3\sigma <X<\mu +3\sigma )=2\Phi (3)-1$。下列代码完成计算

p1=2*norm.cdf(1)-1			#计算2Phi(1)-1
p2=2*norm.cdf(2)-1			#计算2Phi(2)-1
p3=2*norm.cdf(3)-1			#计算2Phi(3)-1
print('P(mu-sigma<X<mu+sigma)=%.4f'%p1)
print('P(mu-2sigma<X<mu+2sigma)=%.4f'%p2)
print('P(mu-3sigma<X<mu+3sigma)=%.4f'%p3)

程序的第2~4行计算的是标准正态分布的分布函数在1、2、3处的值$\Phi (1)$、$\Phi (2)$和$\Phi (3)$的值，故调用norm（第1行导入）的cdf函数并使用loc和scale参数的默认值0和1。程序运行输出：

P(mu-sigma<X<mu+sigma)=0.6827
P(mu-2sigma<X<mu+2sigma)=0.9545
P(mu-3sigma<X<mu+3sigma)=0.9973

由此可见，服从参数为$\mu$和${\sigma }^2$的正态分布的随机变量$X$其值落在区间$(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$内几乎是肯定的事。这就是所谓的“3 $\sigma$法则”，其几何意义如图2-15所示。

例2 某企业准备通过招聘考试招收职工，根据考试分数，从高分到低分分别录取正式职工280人，临时工20人。报考的人数是1657，考试满分是400分。已知考试成绩$X$~$N(166,{\sigma }^2)$，其中${\sigma }^2$未知。此外，360分以上的高分考生31人。设某考生得256分，问他能否被录取？能否被聘为正式工？
解：由于考试成绩$X$~$N(\mu ,{\sigma }^2)$，其中$\mu =166$，${\sigma }^2$未知。设$X$的分布函数为$F(x)$。按题意有$P(X\ge 360)=31/1657$，即$P(X\le 360)=1-P(X\ge 360)=1-31/1657=1626/1657$。利用标准化
$$\frac{1626}{1657}=P(X\le 360)=F(360)=\Phi \left(\frac{360-166}{\sigma }\right)=\Phi \left(\frac{194}{\sigma }\right).$$
即$\sigma =194/{\Phi }^{-1}\left(\frac{1626}{1657}\right)$。记$X$的残存函数$S(x)=1-F(x)$，设录取员工的最低分数为$x_1$，则按题意有$S(x_1)=1-F(x_1)=P(X\ge x_1)=300/1657$，于是$x_1=S^{-1}\left(\frac{300}{1657}\right)$。相仿地，设录取的正式员工的最低分数为$x_2$，则$x_2=S^{-1}\left(\frac{280}{1657}\right)$。分别比较考生成绩与$x_1$，$x_2$的大小，即可判断他是否能被录取为临时工，或正式工。下列代码完成本例计算。

from scipy.stats import norm            #导入norm
mu=166                                  #mu=166
scor=256                                #考生成绩scor
q1=31/1657                              #高分概率q1
q2=300/1657                             #录取概率q2
q3=280/1657                             #录取为正式员工概率q3
x=norm.isf(q=q1)                        #x=Phi^(-1)(1-q1)
sigma=(360-mu)/x                        #计算sigma
x1=norm.isf(q=q2, loc=166, scale=sigma) #x1=F^(-1)(1-q2)为最低录取分数
x2=norm.isf(q=q3, loc=166, scale=sigma) #x2=F^(-1)(1-q3)正式员工最低分数
print('x1<=scor is %s'%(x1<=scor))      #比较x1与scor
print('x2<=scor is %s'%(x2<=scor))      #比较x2与scor

程序代码逐句均有注释，读者不难理解。此处着重强调第7行、第9行和第10行调用残余函数的反函数isf，分别传递$q_1$，$q_2$和$q_3$计算${\Phi }^{-1}(1-q_1)$、$F^{-1}(1-q_2)$和$F^{-1}(1-q_3)$。运行程序2.14，输出：

x1<=scor is True
x2<=scor is True

这意味着该考生不但能被录取，还能成为正式工。
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