概率统计Python计算：假设检验应用——分布拟合检验

本文主要是介绍概率统计Python计算：假设检验应用——分布拟合检验，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

对来自总体$X$的样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$，及给定的显著水平$\alpha$检验假设$$H_0:X\text{的分布函数为}F(x)(H_1:X\text{的分布函数不是}F(x)).$$其中，$F(x)$是已知分布类型的分布函数（或分布律），含有$r$个未知参数。为此，需要将$(-\infty ,+\infty )$划分成$k\le n$个区间$A_1,A_2,\cdots ,A_k$，统计样本中落入每个区间$A_i$中的频数$f_i$并按假设中的分布函数$F(x)$（用未知参数的最大似然统计量值替代对应参数）计算概率$p_i=P(X\in A_i)$。利用这些数据，调用scipy.stats包中的函数
$$\text{chisquare(f\_obs, f\_exp, ddof=0)}$$
即可算得检验假设$H_0$的p值。该函数的参数f_obs表示上述样本频数序列 { f 1 , f 2 , ⋯ , f k } \{f_1,f_2,\cdots,f_k\} {f1​,f2​,⋯,fk​}，f_exp表示假设总体概率序列 { n p 1 , n p 2 , ⋯ , n p k } \{np_1,np_2,\cdots,np_k\} {np1​,np2​,⋯,npk​}，ddof表示假设总体所含的未知参数个数$r$，缺省值为0。该函数的返回值包括两个数据：表示检验统计量值${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(f_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}$的chisq，和表示检验p值$S({\chi }^2)=1-F({\chi }^2)$的p，其中$F(x)$和$S(x)$分别为${\chi }^2(k-1-r)$分布的分布函数和残存函数。
例1在一实验中，每隔一定时间观察一次由某种铀所放射的到达计数器上的$\alpha$粒子数$X$，共观察了100次，得结果如下表：

$i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	$\ge$ 12
$f_i$	1	5	16	17	26	11	9	9	2	1	2	1	0
$A_i$	$A_0$	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$	$A_6$	$A_7$	$A_8$	$A_9$	$A_{10}$	$A_{11}$	$A_{12}$

其中，$f_i$是观察到有$i$个$\alpha$粒子的次数，从理论上考虑知$X$应服从泊松分布$\pi (\lambda )$，问此判断是否符合实际（取$\alpha =0.05$）？
解： 下列代码完成本例中假设$H_0:X$~$\pi (\lambda )$的检验。

from scipy.stats import poisson, chisquare  #导入poisson, chisquare
import numpy as np                          #导入numpy
n=100                                       #样本容量
alpha=0.05                                  #显著水平
f=np.array([1,5,16,17,26,11,9,9,2,1,2,1,0]) #样本数据频数
k=f.size                                    #区间个数
r=1                                         #总体未知参数个数
x_bar=(np.arange(k)*f).sum()/n              #总体均值的最大似然估计值
p=[poisson.pmf(i,x_bar) for i in range(k-1)]#各区间内概率
p.append(1-sum(p))
p=np.array(p)
_, pv=chisquare(f, p*n, r)                  #检验p值
print('H0 is %s'%(pv>=alpha))

程序的第3~5行按题面设置各项数据。第6行计算区间个数k，第7行设置未知参数个数r，第8行计算假设中总体所含未知参数$\lambda$的最大似然估计值x_bar。第9行计算概率$p_i=\frac{{\lambda }^i}{i!}{e}^{-\lambda },i=0,1,\cdots ,k-2$，第10行计算$p_{k-1}=1-\sum _{i=0}^{k-2}{p}_i$，第11行将算得的$p_0,p_1,\cdots ,p_{k-1}$构造成数组p。第12行调用函数chisquare，传递参数f（各区间内样本数据频数），n*p（序列$n{p}_0,n{p}_1,\cdots ,n{p}_{k-1}$）和r（未知参数个数），计算假设$H_0:X$~$\pi (\lambda )$的检验p值（由于此处我们并不需要检验统计量值，故用下划线将chisq屏蔽）。运行程序，输出

H0 is True.

表示接受假设$H_0:X$~$\pi (\lambda )$。
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