Cross_entropy和softmax

本文主要是介绍Cross_entropy和softmax，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1. 传统的损失函数存在的问题

传统二次损失函数为：
$$J(W,b)=\frac{1}{2}(h_{W,b}(x)-y{)}^2+\frac{\lambda }{2K}\sum _{k\in K}{w}_{ij}^2$$
权重和偏置的迭代方程为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ w_{ji}&=w_{ji}…
从上式可以看出，在学习率$\alpha$固定的情况下，权重和偏置的迭代快慢取决于损失对于权重$w$和偏置$b$的偏导，而损失函数对权重和偏置的偏导为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \frac {\partia…
从输出层一步步往输入层迭代，可以看出，${\delta }_j^{(l+1)}$是后面一层已经计算过的，无法改变，而$a_i^{(l)}$是第$l$层和第$l+1$层的输入值，也无法改变。因此其实偏导的大小取决于第$l$层和第$l+1$层的输出值，即：
$$\begin{gathered} \frac{\partial J}{\partial w_{ji}^{(l)}}\sim a_j^{(l+1)}(1-a_j^{(l+1)}) \\ \frac{\partial J}{\partial b_i^{(l)}}\sim a_j^{(l+1)}(1-a_j^{(l+1)}) \end{gathered}$$
因此可以看出，当$a_j^{(l+1)}$接近$\frac{1}{2}$的时候偏导最大，学习速率最快，权重和骗到更新也最快，损失下降也最快。然而在刚开始和快要结束的时候，即$a_j^{(l+1)}$接近1和0的时候，学习速率会非常慢，因此整体的学习速率曲线为：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-sQU7Lbic-1603833300352)(./pics/42.png)]
这可能会造成在有限的迭代次数($epochs$)内无法将损失降到一个较低的值。

2. cross_entropy损失函数

为了解决这个问题，引入一个新的损失函数：
$$J(W,b)=\sum _{(x^{(m)},y^{(m)})}[y\ln h_{W,b}(x)+(1-y)\ln (1-h_{W,b}(x))]+\frac{\lambda }{2K}\sum _{k\in K}{w}_{ij}^2$$
此时的偏导数为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \frac {\partia…
令$h_{W,b}(x)=a_j^{(l+1)}$，因此：
$$\frac{\partial h_{W,b}(x)}{\partial w_{ji}}=a_j^{(l+1)}(1-a_j^{(l+1)})a_i^{(l)}$$
上式为：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ \frac {\partia…
此时$a_i^{(l)}$和$y$的值都是确定的不可改，因此此时偏导数取决于$y-a_j^{(l+1)}$，即后面一层的输出值与$y$的差值的大小，当与$y$差距较大时，偏导大，学习快，损失下降也快，当差值较小时，偏导极小，学习较慢，损失下降也较小，比较符合实际要求。整体的学习速率曲线为：
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-NpIK3JH8-1603833300358)(./pics/43.png)]
因此采用$cross\_entropy$能够解决二次损失函数的学习速率问题，被广泛采用。

3. softmax激活函数

softmax与sigmod函数类似，一般用于输出层的激活函数：
$$softmax(z_j)=\frac{e^{-z_j}}{{\sum }_{i=1}^n{e}^{-z_i}}$$
其中：
$$z_j=\sum _{i=1}^m{w}_{ji}^{(L-1)}{a}_i^{(L-1)}+b_j^{(L)}$$
其实就是每一类占总体的比率，因此
$$\sum _{j=1}^{n}softmax(z_j)=1$$
$n$为输出神经元的个数。
softmax的损失函数为：
$$J=-\ln a_j^{(L)}softmax(z_j)=1$$
$n$为输出神经元的个数。
softmax的损失函数为：
$$J=-\ln a_j^{(L)}$$

这篇关于Cross_entropy和softmax的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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