Python重力弹弓流体晃动微分方程模型和交直流电阻电容电路

本文主要是介绍Python重力弹弓流体晃动微分方程模型和交直流电阻电容电路，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

🎯要点

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📜欧拉法 | 本文 - 用例

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🍇Python欧拉法

令 $\frac{dS(t)}{dt}=F(t,S(t))$ 为显式定义的一阶常微分方程。也就是说，$F$ 是一个函数，它返回给定时间和状态值的状态的导数或变化。另外，令 $t$ 为区间 $\left[t_0,t_f\right]$ 的数字网格，间距为 $h$。不失一般性，我们假设 $t_0=0$，并且对于某个正整数 $N$，$t_f=Nh$。

$S(t)$ 在 $t_j$ 附近的线性近似为
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+\left(t_{j+1}-t_j\right)\frac{dS\left(t_j\right)}{dt}$$
还可以写为：
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+hF\left(t_j,S\left(t_j\right)\right)$$
这个公式称为显式欧拉公式，它允许我们在给定 $S\left(t_j\right)$ 状态的情况下计算 $S\left(t_{j+1}\right)$ 状态的近似值。从给定的初始值$S_0=S\left(t_0\right)$开始，我们可以使用这个公式对状态进行积分直到$S\left(t_f\right)$；这些 $S(t)$ 值是微分方程解的近似值。显式欧拉公式是解决初值问题最简单、最直观的方法。在任何状态$\left(t_j,S\left(t_j\right)\right)$，它在该状态下使用$F$“指向”下一个状态，然后朝该方向移动$h$的距离。尽管有更复杂和更准确的方法来解决这些问题，但它们都具有相同的基本结构。因此，我们明确列举了使用显式欧拉公式解决初始值问题的步骤。

假设我们有一个函数 $F(t,S(t))$ 计算 $\frac{dS(t)}{dt}$，一个数值网格 $t$，区间 $\left[t_0,t_f\right]$，初始状态值$S_0=S\left(t_0\right)$。我们可以使用以下步骤计算 $t$ 中每个 $t_j$ 的 $S\left(t_j\right)$。

• 将 $S_0=S\left(t_0\right)$ 存储在数组 $S$ 中。
• 计算$S\left(t_1\right)=S_0+hF\left(t_0,S_0\right)$
• 将 $S_1=S\left(t_1\right)$ 存储在 $S$ 中
• 计算$S\left(t_2\right)=S_1+hF\left(t_1,S_1\right)$
• 将 $S_2=S\left(t_1\right)$ 存储在 $S$​ 中。
• …
• 计算$S\left(t_f\right)=S_{f-1}+hF\left(t_{f-1},S_{f-1}\right)$
• 将 $S_f=S\left(t_f\right)$ 存储在 $S$ 中
• $S$ 是初始值问题的近似解

当使用具有这种结构的方法时，我们称该方法集成了常微分方程的解。

初始条件为$f_0=-1$的微分方程$\frac{df(t)}{dt}=e^{-t}$有精确解$f(t)=-e^{-t}$ 。使用显式欧拉公式，以 0.1 为增量，在 0 和 1 之间近似求解此初始值问题。绘制近似解和精确解之间的差异。

代码处理：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltplt.style.use('seaborn-poster')
%matplotlib inlinef = lambda t, s: np.exp(-t) 
h = 0.1 
t = np.arange(0, 1 + h, h) 
s0 = -1 s = np.zeros(len(t))
s[0] = s0for i in range(0, len(t) - 1):s[i + 1] = s[i] + h*f(t[i], s[i])plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(t, s, 'bo--', label='Approximate')
plt.plot(t, -np.exp(-t), 'g', label='Exact')
plt.title('Approximate and Exact Solution \
for Simple ODE')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.grid()
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

在上图中，我们可以看到每个点都是基于前一个点以线性方式进行的近似。从初始值，我们最终可以得到数值网格上解的近似值。如果我们对 $h=0.01$ 重复该过程，我们会得到更好的近似解：

h = 0.01 
t = np.arange(0, 1 + h, h) 
s0 = -1 s = np.zeros(len(t))
s[0] = s0for i in range(0, len(t) - 1):s[i + 1] = s[i] + h*f(t[i], s[i])plt.figure(figsize = (12, 8))
plt.plot(t, s, 'b--', label='Approximate')
plt.plot(t, -np.exp(-t), 'g', label='Exact')
plt.title('Approximate and Exact Solution \
for Simple ODE')
plt.xlabel('t')
plt.ylabel('f(t)')
plt.grid()
plt.legend(loc='lower right')
plt.show()

显式欧拉公式之所以被称为“显式”，是因为它只需要 $t_j$ 处的信息来计算 $t_{j+1}$ 处的状态。也就是说， $S\left(t_{j+1}\right)$ 可以根据我们拥有的值（即 $t_j$ 和 $S\left(t_j\right)$ ）显式地编写。隐式欧拉公式可以通过在 $t_{j+1}$ 周围取 $S(t)$ 的线性近似并在 $t_j$ 处计算来导出：
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+hF\left(t_{j+1},S\left(t_{j+1}\right)\right)$$
这个公式很奇特，因为它要求我们知道 $S\left(t_{j+1}\right)$ 才能计算 $S\left(t_{j+1}\right)$！不过，有时候我们可以用这个公式来近似求解初值问题。在详细介绍如何使用隐式欧拉公式解决这些问题之前，我们先给出另一个隐式公式，称为梯形公式，它是显式和隐式欧拉公式的平均值：
$$S\left(t_{j+1}\right)=S\left(t_j\right)+\frac{h}{2}\left(F\left(t_j,S\left(t_j\right)\right)+F\left(t_{j+1},S\left(t_{j+1}\right)\right)\right)$$
为了说明如何求解这些隐式解，请再次考虑已简化为一阶的摆方程。

👉参阅一：计算思维

👉参阅二：亚图跨际

这篇关于Python重力弹弓流体晃动微分方程模型和交直流电阻电容电路的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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