【CS.AL】算法复杂度分析 —— 渐进符号表示法

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1000.01.CS.AL.1.3-算法基础-渐进符号表示法-Created: 2024-06-13.Thursday17:38

1 概述

渐进符号表示法用于描述算法的时间复杂度和空间复杂度，衡量算法的性能。它可以帮助我们分析和比较不同算法的效率，尤其是当输入规模变大时。常见的渐进符号包括大O符号（O）、Ω符号（Ω）、Θ符号（Θ）、o符号（o）和ω符号（ω）。

2 渐进符号详解

2.1 大O符号（O）

大O符号（Big O Notation） 用于描述算法在最坏情况下的时间复杂度或空间复杂度，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率上限。它帮助我们理解算法的效率上限。

定义：算法的时间复杂度为O(f(n))，如果存在正数c和n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足T(n) ≤ c * f(n)。

示例：

• 对于线性时间复杂度的算法，如简单的遍历数组，时间复杂度为O(n)。
• 对于二分查找算法，时间复杂度为O(log n)。

表示法：

• O(1)：常数时间复杂度。
• O(n)：线性时间复杂度。
• O(n²)：平方时间复杂度。
• O(log n)：对数时间复杂度。
• O(n log n)：线性对数时间复杂度。

2.2 Ω符号（Ω）

Ω符号（Big Omega Notation） 用于描述算法在最好情况下的时间复杂度或空间复杂度，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率下限。它帮助我们理解算法的最低效率。

定义：算法的时间复杂度为Ω(f(n))，如果存在正数c和n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足T(n) ≥ c * f(n)。

示例：

• 对于二分查找算法，最好情况是在第一次比较时就找到目标元素，其时间复杂度为Ω(1)。
• 对于快速排序算法，最好情况是每次都能均匀地将数组分成两部分，其时间复杂度为Ω(n log n)。

表示法：

• Ω(1)：常数时间复杂度。
• Ω(n)：线性时间复杂度。
• Ω(n²)：平方时间复杂度。

2.3 Θ符号（Θ）

Θ符号（Big Theta Notation） 用于描述算法在平均情况下的时间复杂度或空间复杂度，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率的紧确界限。它帮助我们理解算法的精确效率。

定义：算法的时间复杂度为Θ(f(n))，如果存在正数c1、c2和n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足c1 * f(n) ≤ T(n) ≤ c2 * f(n)。

示例：

• 对于简单的遍历数组，时间复杂度为Θ(n)。
• 对于快速排序算法，平均情况时间复杂度为Θ(n log n)。

表示法：

• Θ(1)：常数时间复杂度。
• Θ(n)：线性时间复杂度。
• Θ(n²)：平方时间复杂度。

2.4 o符号（o）

o符号（Small o Notation） 用于描述算法的非渐进上界，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率严格小于某个函数。它帮助我们理解算法的上界，但并不包括等于的情况。

定义：算法的时间复杂度为o(f(n))，如果对于任意正数c，存在n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足T(n) < c * f(n)。

示例：

• 对于一个执行时间为2n的算法，它的时间复杂度为o(n²)。

表示法：

• o(n)：小于线性时间复杂度。
• o(n²)：小于平方时间复杂度。

2.5 ω符号（ω）

ω符号（Small omega Notation） 用于描述算法的非渐进下界，表示在输入规模趋近无穷大时，算法的增长率严格大于某个函数。它帮助我们理解算法的下界，但并不包括等于的情况。

定义：算法的时间复杂度为ω(f(n))，如果对于任意正数c，存在n0，使得对所有n ≥ n0，算法的执行时间T(n)满足T(n) > c * f(n)。

示例：

• 对于一个执行时间为n log n的算法，它的时间复杂度为ω(log n)。

表示法：

• ω(1)：大于常数时间复杂度。
• ω(n)：大于线性时间复杂度。
• ω(log n)：大于对数时间复杂度。

3 具体例子

3.1 插入排序（Insertion Sort）

void insertionSort(int arr[], int n) {for (int i = 1; i < n; i++) {int key = arr[i];int j = i - 1;while (j >= 0 && arr[j] > key) {arr[j + 1] = arr[j];j = j - 1;}arr[j + 1] = key;}
}

分析：

• 最坏情况：输入数组为降序，时间复杂度为O(n²)。
• 最好情况：输入数组为升序，时间复杂度为Ω(n)。
• 平均情况：时间复杂度为Θ(n²)。

3.2 二叉搜索树（Binary Search Tree）

struct Node {int data;Node* left;Node* right;
};Node* search(Node* root, int key) {if (root == nullptr || root->data == key)return root;if (root->data < key)return search(root->right, key);return search(root->left, key);
}

分析：

• 最坏情况：树退化成链表，时间复杂度为O(n)。
• 最好情况：树是平衡的，时间复杂度为Ω(log n)。
• 平均情况：时间复杂度为Θ(log n)。

通过理解这些渐进符号及其应用，我们可以更好地评估算法的效率，选择合适的算法来解决实际问题。

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