LCS时间复杂度O(NlogN) (LCS 转 LIS)

2024-06-01 21:58
文章标签 复杂度 时间 lis lcs nlogn

本文主要是介绍LCS时间复杂度O(NlogN) (LCS 转 LIS),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

LCS(Longest Common Subsequences)最长公共子序列用一般的动态规划时间复杂度O(N^2), 但经过优化可以达到O(NlogN),下面是转载集训队某人的最长递增子序列解题报告。


 


  先回顾经典的O(n^2)的动态规划算法,设A[i]表示序列中的第i个数,F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度,初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程:F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。


  现在,我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y],满足


   (1)x < y < i


          (2)A[x] < A[y] < A[i]


          (3)F[x] = F[y]


  此时,选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值,那么,在最长上升子序列的这个位置中,应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢?


  很明显,选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2),在A[x+1] ... A[i-1]这一段中,如果存在A[z],A[x] < A[z] < a[y],则与选择A[y]相比,将会得到更长的上升子序列。


  再根据条件(3),我们会得到一个启示:根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k,我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值,即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。


  注意到D[]的两个特点:


  (1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。
  (2) D[]的值是有序的,即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。


  利用D[],我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D [len]。若A[i] > D[len],则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列,len = len + 1, D[len] = A[i];否则,在D[1]..D[len]中,找到最大的j,满足D[j] < A[i]。令k = j + 1,则有D[j] < A[i] <= D[k],将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列,同时更新D[k] = A[i]。最后,len即为所要求的最长上升子序列的长度。


  在上述算法中,若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找,由于共有O(n)个元素需要计算,每次计算时的复杂度是O(n),则整个算法的时间复杂度为O(n^2),与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2),我们在D[]中查找时,可以使用二分查找高效地完成,则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn),有了非常显著的提高。需要注意的是,D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列!


  这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题,整个算法的难点在于二分查找的设计,需要非常小心注意。


  


  最长公共子序列向最长递增子序列退化:


  设有序列A,B。记序列A中各个元素在B 中的位子(降序排列),然后按在A中的位置依次列出按后求A的最长递增子序列。


  例如:有A={a,b,a,c,x},B={b,a,a,b,c,a}则有a={6,3,2},b={4,1},c={5};x=/;(注意降序排列)


然后按A中次序排出{a(6,3,2),b(4,1),a(6,3,2),c(5),x()}={6,3,2,4,1,6,3,2,5};对此序列求最长递增子序列即可

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