数字水印 | 图像标准化论文：Digital Watermarking Robust to Geometric Distortions（一）

本文主要是介绍数字水印 | 图像标准化论文：Digital Watermarking Robust to Geometric Distortions（一），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

🤖前言： 这是一篇 2005 年的 SCI 一区 + CCF-A，但是网上关于它的讲解貌似挺少的。文中提出了两种数字水印方案，但是我只关注第一种方案中的图像标准化技术。由于本人很菜，因此可能存在翻译或者理解的错误，请各位指正！

II Watermark Based on Image Normalization

该水印机制的核心思想是使用一个经过标准化的图像来嵌入和提取水印。

标准化图像 是通过一个几何变换过程得到的，该过程对于任何的图像 仿射变换 都具有不变性。也就是说，即使图像受到了仿射几何攻击，它也会保证水印在标准化图像中的完整性。

这篇博客介绍了仿射变换的基本知识：数字水印 | 仿射变换的原理入门

该水印机制的功能示意图如下图所示：

在这里插入图片描述
如上图所示，提取水印时并不需要原始图像，这使得该方案非常适合于公共水印应用。我们将首先介绍图像的矩和几何仿射变换的一些背景知识，它们是图像标准化的必要工具。

A 图像的矩和仿射变换

令 $f (x, y)$ 表示一个尺寸为 $M \times N$ 的数字图像，它的原点矩 $m_{pq}$ 和中心矩 $μ_{pq}$ 分别被定义为：

$\begin{alignat}{2} m_{pq} =& \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}x^py^qf(x,y) \\ \mu_{pq} =& \sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}(x-\overline{x})^p(y-\overline{y})^qf(x,y) \end{alignat}{}$

个人理解：这里应该用的是 $\mathsf{HU}$ 矩。

其中 $p, q = 0, 1, 2, ...$ 以及
$\overline{x}=\frac{m_{10}}{m_{00}},\ \overline{y}=\frac{m_{01}}{m_{00}}$

个人理解： $(\overline{x},\overline{y})$ 是图像重心的坐标。

如果存在矩阵 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ 和向量 $\mathbf{d}=\begin{pmatrix} d_{1} \\ d_{2} \end{pmatrix}$ 使得 $g(x,y)=f(x_a,y_a)$ ，那么我们认为图像 $g (x, y)$ 是图像 $f (x, y)$ 的一个仿射变换结果，其中：

$\begin{pmatrix} x_{a} \\ y_{a} \end{pmatrix}=\mathbf{A}\cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -\mathbf{d}$

个人理解：这是仿射变换的一般表达式。不过貌似现在把变换矩阵统一为了一个三维矩阵，而非一个矩阵和一个向量。

具体的仿射变换包括：

在 $x$ 方向上的剪切，与之对应的是 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\overset{\triangle}{=}A_x$
在 $y$ 方向上的剪切，与之对应的是 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix}\overset{\triangle}{=}A_y$
同时在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的剪切，与之对应的是 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \delta \end{pmatrix}\overset{\triangle}{=}A_s$

任何仿射变换 $\mathbf{A}$ 都可以被分解为上述三个变换的组合：
$\mathbf{A}=\mathbf{A}_s\cdot\mathbf{A}_y\cdot\mathbf{A}_x$
其中要求 $a_{11}≠0$ 和 $det(\mathbf{A})≠0$ 。此外，可以根据给定的结果推导出以下结论。

引理 1： 假设图像 $g (x, y)$ 是图像 $f (x, y)$ 的一个仿射变换结果，其中矩阵 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ 和向量 $\mathbf{d}=\mathbf{0}$ ，那么以下等式成立：

$\begin{alignat}{2} m'_{p,q} =& \sum_{i=0}^{p}\sum_{j=0}^{q} \begin{pmatrix} p \\ i \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} q \\ j \end{pmatrix} a^i_{11}\cdot a^{p-i}_{12}\cdot a^{j}_{21}\cdot a^{q-j}_{22}\cdot m_{i+j,p+q-i-j}\\ \mu'_{p,q} =& \sum_{i=0}^{p}\sum_{j=0}^{q} \begin{pmatrix} p \\ i \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} q \\ j \end{pmatrix} a^i_{11}\cdot a^{p-i}_{12}\cdot a^{j}_{21}\cdot a^{q-j}_{22}\cdot \mu_{i+j,p+q-i-j} \end{alignat}{}$

其中， $m'_{pq},\mu'_{p,q}$ 是 $g (x, y)$ 的矩， $m_{pq},\mu_{p,q}$ 是 $f (x, y)$ 的矩。

原文的最后一句话是不是写错了符号？我也不认为两个竖着的向量能够相乘，因此擅自加上了转置。

B 图像的标准化

在本节中，我们描述了一个对仿射几何变换具有不变性的标准化过程。在模式识别问题（提取对仿射变换保持不变的图像特征）中，利用矩进行图像标准化的概念是众所周知的。因此我们也对图像应用一个标准化过程，使其满足一组预定义的矩准则。

给定图像 $f (x, y)$ ，标准化过程由以下步骤组成。

步骤一： 对图像 $f (x, y)$ 进行中心定位；这是通过设置矩阵 $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 和向量 $\mathbf{d}=\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix}$ 来实现的，其中：
$d_1=\frac{m_{10}}{m_{00}},\ d_2=\frac{m_{01}}{m_{00}}$
$m_{10},m_{01},m_{00}$ 是图像 $f (x, y)$ 原点矩，令 $f_1(x,y)$ 表示由此得到的中心图像。该步骤是为了实现平移的不变性。

个人理解：平移一个重心的位置。

步骤二： 在 $x$ 方向上对图像 $f_1(x,y)$ 进行一个剪切变换，其中矩阵 $\mathbf{A}_x=\begin{pmatrix} 1 & \beta \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ，得到结果图像 $f_2(x,y)\overset{\triangle}{=}\mathbf{A}_x[f_1(x,y)]$ ，达到： $\mu^{(2)}_{30}=0$ 。

注意：上标 $(2)$ 是用于指明这是 $f_2(x,y)$ 的中心矩。

步骤三： 在 $y$ 方向上对图像 $f_2(x,y)$ 进行一个剪切变换，其中矩阵 $\mathbf{A}_y=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \gamma & 1 \end{pmatrix}$ ，得到结果图像 $f_3(x,y)\overset{\triangle}{=}\mathbf{A}_y[f_2(x,y)]$ ，达到： $\mu^{(3)}_{11}=0$ 。

我也不知道为什么要让中心矩达到这些标准？

步骤四： 同时在 $x$ 方向和 $y$ 方向上对图像 $f_3(x,y)$ 进行一个剪切变换，其中矩阵 $\mathbf{A}_s=\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \delta \end{pmatrix}$ ，得到结果图像 $f_4(x,y)\overset{\triangle}{=}\mathbf{A}_s[f_2(x,y)]$ ，达到：① 规定的标准尺寸；② $\mu^{(4)}_{50}>0$ 和 $\mu^{(4)}_{05}>0$ 。

最终得到标准化后的图像 $f_4(x,y)$ ，在此基础上进行后续的水印嵌入和提取。

由前文的介绍可知，一般的仿射变换攻击可以分解为平移、双向剪切、双向缩放的组合，而标准化过程中的 $4$ 个步骤分别用于消除这些失真成分。

具体来说： 步骤一将标准化图像的中心设置在被仿射变换攻击的图像的密度中心，以消除仿射攻击的平移。步骤二和步骤三消除 $x$ 和 $y$ 方向上的剪切。步骤四通过将标准化图像强制到标准大小来消除缩放失真。

需要注意的是，标准化过程中的每一步都是可逆的。这允许我们在嵌入水印后，将标准化后的图像还原为原始的大小和方向。当然，我们还需要确定上述过程中变换矩阵 $\mathbf{A}_x,\mathbf{A}_y,\mathbf{A}_s$ 中的参数。我们将在下一节中讨论这个问题。在下面的定理中，我们给出了标准化图像对仿射变换的不变性质。