(法)H.嘉当(H.Cartan)、塞尔(J.P.Serre)、施瓦茨(L.Schwartz)等[著],刘应明、胡师度[译]:代数结构与拓扑结构

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本书是法国数学会与法国数学教师联合会举办的几期讲座的演讲集,所收讲稿主要介绍抽象数学的基本概念。
第一篇 代数结构
第一讲 代数结构(H.Cartan)
H.Cartan(索尔本大学教授)
1.引言
事实上,不可能预先给代数划定什么不可逾越的范围(任何科学分支的情形也是如此),因为无法预见到在探索过程中会显现出哪些新领域。
粗略地说,可以认为代数是研究对一个或几个集合的元素施行的某些运算,而不考虑这些元素本身的性质。对于给了某些运算的一个几何,一切所能阐述的内容也完全适用于与它同构的任何其他集合(后文中要介绍同构的概念)。对代数的这种理解可能一个世纪以来都占上风,然而最近的进展无疑必将使代数扩大其过于狭窄的范围,因而上述理解今日可能已经过时了。
2.运算的概念
从算术起就有了运算的概念。……于是,一个运算就是定义在集合A×B上并在集合C中取值的函数。我们也说,运算是把A×B映入C的一个映射。
一个重要情形是这三个集合A、B与C相同的情形,此时,考虑的是一个映射f:A×A->A,这样的函数叫做:内合成法则。如果只假定B=C,则得到所谓的外合成法则:即是把A×B映入B的函数。……不过,把B映入B的映射也称作B的一个变换,于是外合成法则相应于A的每个元素给出B的一个变换;集合A就叫做算子域,并说A作用于B。
----小嘉当举了几个内合成法则和外合成法则的例子,此处略过。
以后我们几乎只讨论内合成法则。
3.内合成法则的各种性质
结合性:一个合成法则,比如记作乘法(ab表示a与b的合成),称为结合的,如果对任意的a、b、c,有(ab)c=a(bc)。
容易给出非结合法则的例子:对一对实数(a,b),我们使其和之半(a+b)/2与之相应;立即可以验明这个法则不是结合的。
交换性:一个内法则(为确定计记作乘法)称为交换的,如果对任意a与b,有ab=ba。
……
这样,就存在结合的但不是交换的法则。同样也有一些交换的但不是结合的法则,例如求两实数ayub之和之半的法则。
一个法则如果既交换又结合,则可以定义任意元素组(自然是有限组——译注)的合成,而不必计及它们的次序。
中性元:给了一个内法则(为确定计记作乘法),元素e称为中性元,若对每个元素a,有ae=ea=a。这种元素不一定存在,但若存在必唯一,因为若e与e'是两个中性元&#x

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