【算法基础课】一、基础算法（中）｜高精度、前缀和、差分

本文主要是介绍【算法基础课】一、基础算法（中）｜高精度、前缀和、差分，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

【算法基础课】一、基础算法（中）｜高精度、前缀和、差分

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一、基础算法（中）

1.4 高精度

(1) 高精度加法

模板

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {vector<int> C;int t = 0;  // 进位for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++) {if (i < A.size()) t += A[i];if (i < B.size()) t += B[i];C.push_back(t % 10);t /= 10;}if (t) C.push_back(t);return C;  
}

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例题

791. 高精度加法
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。

输入格式
共两行，每行包含一个整数。

输出格式
共一行，包含所求的和。

数据范围
$1\le 整数长度\le 100000$

输入样例：
12
23
输出样例：
35

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;vector<int> add(vector<int> A, vector<int>B) {vector<int> C;int t = 0;  // 进位for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i++) {if (i < A.size()) t += A[i];if (i < B.size()) t += B[i];C.push_back(t % 10);t /= 10;}if (t) C.push_back(t);return C;}int main() {string a, b;vector<int> A, B;cin >> a >> b;  // a = 123456for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');  // A = [6, 5, 4, 3, 2, 1]for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');vector<int> C = add(A, B);for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];return 0;
}

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(2) 高精度减法

模板

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) {vector<int> C;int t = 0;  // 借位for (int i = 0; i < A.size(); i++) {t = A[i] - t;if (i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t + 10) % 10);if (t < 0) t = 1;else t = 0;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();  // 去掉前导0return C;
}

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例题

792. 高精度减法
给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的差，计算结果可能为负数。

输入格式
共两行，每行包含一个整数。

输出格式
共一行，包含所求的差。

数据范围
$1\le 整数长度\le 10^5$

输入样例：
32
11
输出样例：
21

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B) {if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) {if (A[i] != B[i])return A[i] > B[i];}return true;
}// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0
vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B) {vector<int> C;int t = 0;  // 借位for (int i = 0; i < A.size(); i++) {t = A[i] - t;if (i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t + 10) % 10);if (t < 0) t = 1;else t = 0;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();  // 去掉前导0return C;
}int main() {string a, b;vector<int> A, B;cin >> a >> b;  // a = 123456for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');  // A = [6, 5, 4, 3, 2, 1]for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i--) B.push_back(b[i] - '0');if (cmp(A, B)) {vector<int> C = sub(A, B);for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];} else {vector<int> C = sub(B, A);cout << '-';for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];}return 0;
}

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(3) 高精度乘低精度

模板

// C = A * b, A >= 0, b >= 0
vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {vector<int> C;int t = 0;for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) {if (i < A.size()) t += A[i] * b;C.push_back(t % 10);t /= 10;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

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例题

793. 高精度乘法
给定两个非负整数（不含前导 0） A 和 B，请你计算 A×B 的值。

输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。

输出格式
共一行，包含 A×B 的值。

数据范围
$1\le A的长度\le 100000$
$0\le B\le 10000$

输入样例：
2
3
输出样例：
6

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {vector<int> C;int t = 0;for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) {if (i < A.size()) t += A[i] * b;C.push_back(t % 10);t /= 10;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}int main() {string a;int b;cin >> a >> b;vector<int> A;for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');vector<int> C = mul(A, b);for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];return 0;
}

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(4) 高精度除以低精度

模板

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0
vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) {vector<int> C;r = 0;for (int i = A.size(); i >= 0; i--) {r = r * 10 + A[i];C.push_back(r / b);r = r % b;}reverse(C.begin(), C.end());while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

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例题

794. 高精度除法
给定两个非负整数（不含前导 0） A，B，请你计算 A/B 的商和余数。

输入格式
共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。

输出格式
共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。

数据范围
$1\le A的长度\le 100000$
$1\le B\le 10000$
B 一定不为 0

输入样例：
7
2
输出样例：
3
1

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>using namespace std;vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r) {vector<int> C;r = 0;for (int i = A.size(); i >= 0; i--) {r = r * 10 + A[i];C.push_back(r / b);r = r % b;}reverse(C.begin(), C.end());while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}int main() {string a;int b;cin >> a >> b;vector<int> A;for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');int r;vector<int> C = div(A, b, r);for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i--) cout << C[i];cout << endl << r << endl;return 0;
}

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1.5 前缀和

(1) 一维前缀和

模板

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

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例题

795. 前缀和
输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来再输入 m 个询问，每个询问输入一对 l,r。

对于每个询问，输出原序列中从第 l 个数到第 r 个数的和。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

接下来 m 行，每行包含两个整数 l 和 r，表示一个询问的区间范围。

输出格式
共 m 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
$1\le l\le r\le n,$
$1\le n,m\le 100000,$
$-1000\le 数列中元素的值\le 1000$

输入样例：
5 3
2 1 3 6 4
1 2
1 3
2 4
输出样例：
3
6
10

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], s[N];int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), s[i] = s[i - 1] + a[i];while (m--) {int l, r;scanf("%d %d", &l, &r);printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);}return 0;
}

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(2) 二维前缀和

模板

// S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
S[i][j] = S[i - 1][j] + S[i][j - 1] - S[i - 1][j - 1] + a[i][j];// 以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
res = S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

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例题

796. 子矩阵的和
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式
第一行包含三个整数 n，m，q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式
共 q 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围
$1\le n,m\le 1000,$
$1\le q\le 200000,$
$1\le x1\le x2\le n,$
$1\le y1\le y2\le m,$
$-1000\le 矩阵内元素的值\le 1000$

输入样例：
3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4
输出样例：
17
27
21

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;const int N = 1010;int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];int main() {scanf("%d %d %d", &n, &m, &q);for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {scanf("%d", &a[i][j]);s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];}}while(q--) {int x1, y1, x2, y2;scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2);printf("%d\n", s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);}return 0;
}

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1.6 差分

(1) 一维差分

模板

// 给区间[l, r]中的每个数加上c：
B[l] += c, 
B[r + 1] -= c

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例题

797. 差分
输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围
$1\le n,m\le 100000,$
$1\le l\le r\le n,$
$-1000\le c\le 1000,$
$-1000\le 整数序列中元素的值\le 1000$

输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2

#include <cstdio>
#include <iostream>using namespace std;const int N = 100010;
int n, m;
int a[N], s[N];int main() {scanf("%d%d", &n, &m);for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]), s[i] = s[i - 1] + a[i];while (m--) {int l, r;scanf("%d %d", &l, &r);printf("%d\n", s[r] - s[l - 1]);}return 0;
}

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(2) 二维差分

模板

// 给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, 
S[x2 + 1, y1] -= c, 
S[x1, y2 + 1] -= c, 
S[x2 + 1, y2 + 1] += c

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例题

798. 差分矩阵
输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
$1\le n,m\le 1000,$
$1\le q\le 100000,$
$1\le x1\le x2\le n,$
$1\le y1\le y2\le m,$
$-1000\le c\le 1000,$
$-1000\le 矩阵内元素的值\le 1000$

输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include <iostream>
#include <cstdio>using namespace std;const int N = 1010;int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {b[x1][y1] += c;b[x2 + 1][y1] -= c;b[x1][y2 + 1] -= c;b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}int main() {scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {scanf("%d", &a[i][j]);insert(i, j, i, j, a[i][j]);}}while (q--) {int x1, y1, x2, y2, c;scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);insert(x1, y1, x2, y2, c);}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= m; j++) {a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];printf("%d ", a[i][j]);}puts("");}return 0;
}

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