漫步数学分析三—

漫步数学分析三——开集

本文主要是介绍漫步数学分析三——开集，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

为了定义开集，我们首先介绍 $\varepsilon-\text{disc}$ 的概念。

$\textbf{定义1}$ 对于每个固定的 $x\in R^n$ 以及 $\varepsilon>0$ ，集合

D (x, ε) = {y \in R n | d (x, y) < ε}

$D(x,\varepsilon)=\{y\in R^n|d(x,y)<\varepsilon\}$

称为关于 $x$ 的 $\varepsilon-\text{disc}$ (也称为 $\varepsilon-$ 邻域(neighborhood)或 $\varepsilon-$ 球(ball))如图1所示。对于集合 $A\subset R^n$ ，如果存在一个 $\varepsilon>0$ 使得 $D(x,\varepsilon)\subset A$ ，那么就称该集合为开的。

图1：邻域

有一点非常重要，那就是 $\varepsilon$ 依赖于 $x$ 。例如， $R^2$ 中的不包含边界的单位球为开的，但是当我们靠近边界的时候， $\varepsilon$ 就需要变得越小。然而需要注意的是对于任意 $x$ ， $\varepsilon$ 不能等于0，如图2所示。

图2：开集

考虑 $R=R^1$ 中的一个开区间，如 $(0,1)$ 。事实上，它是一个开集(如图3所示)，然而如果我们将其看成 $R^2$ 中的区间( $x$ 轴的一个子集)，那么它就不是开的，所以说明一个集合是否为开时，首先需要指定所使用的的 $R^n$ 。

图3：一维与二维的情况

有许多不是开集的例子，像 $R^2$ 中的闭单位圆 $\{x\in R^2|\Vert x\Vert\leq1\}$ ，因为边界上有点所以它不是开的(也就是说有点 $x$ 满足 $\Vert x\Vert=1$ )，每个 $\varepsilon-\text{disc}$ 包含不在该集合中的点，如图4所示。

图4：非开集

$\textbf{定理1}$ 在 $R^n$ 中，对于每个 $\varepsilon>0,x\in R^n$ ，那么集合 $D(x,\varepsilon)$ 是开的。

该定理证明的主要思想包含在图5中，注意在这幅图中关于点 $y\in D(x,\varepsilon)$ 距离大小随着 $y$ 靠近边界而变得越来越小，从图中可以感觉此定理是显然的。

开集遵守的一些法则如下。

$\textbf{定理2}$

$\textrm{(i)}$ $R^n$ 中有限个开子集的交是 $R^n$ 的开子集。
$\textrm{(ii)}$ $R^n$ 中任意个开子集的交是 $R^n$ 的开子集。

这个结果可能不太直观，断言 $\textrm{(i)}$ 与 $\textrm{(ii)}$ 的差别让我们意识到任意开集的交可能不是开集。例如 $R^1$ 中，一个点(它不是开集)是所有包含它的开集之并(why?)，之后内容将严重依赖定理2给出的开集基本性质()。

注意：满足定理2法则的一组子集或空集 $\emptyset$ 或整个空间称为拓扑空间，这里我们不讨论一般的拓扑空间而是只限于 $R^n$ 的情况，然而，下面讨论的内容可以应用到许多情况中。

图5：邻域为开集

$\textbf{例1：}$ 令 $S=\{(x,y)\in R^2|0<x<1\}$ ，说明 $S$ 是开集。

图6：集合S

$\textbf{解：}$ 从图6我们可以看出，每个点 $(x,y)\in S$ ，我们可以画出半径 $r=\min\{x,1-x\}$ 的邻域并且其全部含于 $S$ ，因此根据定义可知 $S$ 是开集。

$\textbf{例2：}$ 令 $S=\{(x,y)\in R^2|0<x\leq1\}$ ， $S$ 是开集吗？

$\textbf{解：}$ 答案为否，因为关于 $(1,0)\in S$ 的邻域包含点 $(x,0)$ ，其中 $x>1$ 。

$\textbf{例3：}$ 令 $A\subset R^n$ 是开集且 $B\subset R^n$ ，定义

A + B = {x + y \in R n | x \in A, y \in B}

$A+B=\{x+y\in R^n|x\in A,y\in B\}$

证明 $A+B$ 是开集。

$\textbf{解：}$ 令 $x\in A,y\in B$ ，使得 $x+y\in A+B$ 。根据定义，有一个 $\varepsilon>0$ 使得 $D(x,\varepsilon)\subset A$ ，我们需要证明 $D(x+y,\varepsilon)\subset A+B$ 。事实上，令 $z\in D(x+y,\varepsilon)$ 使得 $d(x+y,z)<\varepsilon$ ，但是 $d(x+y,z)=d(x,z-y)$ ，所以 $z-y\in A$ ，那么 $z=(z-y)+y\in A+B$ ，由此可得 $D(x+y,\varepsilon)\subset A+B$ ，所以 $A+B$ 是开集。