漫步数学分析三十三—

本文主要是介绍漫步数学分析三十三——可微的条件，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

因为雅克比矩阵给出了有效的计算方法，因此我们知道通常的偏导存在就意味着导数 $Df$ 存在。不幸的是这结论在一般情况下是不成立的，例如将 $f:R^2\to R$ 定义为 $y=0,f(x,y)=x;x=0,f(x,y)=y;$ 其余情况下 $f(x,y)=1$ ，那么 $\partial f/\partial x,\partial f/\partial y$ 在 $(0,0)$ 处存在并等于1。然而 $f$ 在 $(0,0)$ 处不连续，所以 $(0,0)$ 处的导数 $Df$ 不存在，如图1所示。

图1

这种行为其实非常好理解，偏导只与 $x,y$ 轴方向上的有关，而 $Df$ 的定义涉及到给定点整个邻域中 $f$ 的行为。

然而我们可以给出如下断言。

$\textbf{定理4}$ 令 $A\subset R^n$ 是一个开集， $f:A\subset R^n\to R^m$ ，假设 $f=(f_1,\ldots,f_m)$ 。如果每个偏导 $\partial f_j/\partial x_j$ 存在且在 $A$ 上连续，那么 $f$ 在 $A$ 上可微。

现在我们讨论方向导数。

$\textbf{定义3}$ 令 $f$ 是实值函数，定义在 $x_0\in R^n$ 的邻域内，令 $e\in R^n$ 是一个单位向量，那么

d d x f (x + t e) ∣ t = 0 = lim t \to 0 f ( x 0 + t e ) - f ( x 0 ) t

$\frac{d}{dx}f(x+te)\mid_{t=0}=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}$

称为 $f$ 在 $x_0$ 处 $e$ 方向上的方向导数(directional derivative)。

从这个定义可以看出，方向导数仅仅是 $f$ 在 $e$ 方向上的变化率；如图 $\ref{fig:6-7}$ 所示。

我们断言 $e$ 方向上的方向导数等于 $Df(x_0)\cdot e$ ，为了明白这个断言，我们仅仅将其看成 $Df(x_0)$ 在 $x=x_0+te$ 时候的定义；这样的话我们就得到如果 $|t|$ 充分小，那么对任意的 $\varepsilon>0$ ，

∥ ∥ ∥ f ( x 0 + t e ) - f ( x 0 ) t - D f (x 0) \cdot e ∥ ∥ ∥ \leq ε ∥ e ∥

$\left\Vert\frac{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}-Df(x_0)\cdot e\right\Vert\leq\varepsilon\Vert e\Vert$

这就证明了如果 $f$ 在 $x_0$ 处可微，那么方向导数也存在并且由

lim t \to 0 f ( x 0 + t e ) - f ( x 0 ) t = D f (x 0) \cdot e

$\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}=Df(x_0)\cdot e$

给定。

图2

特别地，通过观察可以看出 $\partial f/\partial x_i$ 是 $f$ 在第 $i$ 个坐标轴方向上( $e=e_i=(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ )的导数。

注意对于函数 $f:R^2\to R$ ，方向导数 $Df(x_0)\cdot e$ 可以确定 $f$ 图像的切平面，即直线 $l,z=f(x_0)+Df(x_0)\cdot te$ 是 $f$ 图像的切线，因为就像图2那样， $Df(x_0)\cdot e$ 仅仅是 $f$ 在 $e$ 方向上的变化率，因此 $f$ 在 $(x_0,f(x_0))$ 处的切平面可以用方程

z = f (x 0) = D f (x 0) \cdot (x - x 0)

$z=f(x_0)=Df(x_0)\cdot(x-x_0)$

(如图3所示)来描述。因为我们还没有定义曲面上切平面的概念，所以我们将上面的方程作为切平面的定义。

图3

$\textbf{例1：}$ 说明一个点处的所有方向导数都存在不一定代表可微。

$\textbf{解：}$ 我们考虑 $f:R^2\to R$

f (x, y) = {x y ( x 2 + y ), 0, x 2 \neq y x 2 = - y

$f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{(x^2+y)},&x^2\neq y\\ 0,&x^2=-y \end{cases}$

那么如果 $e=(e_1,e_2)$ ，当 $t\to 0$ 时

1 t f (t e 1, t e 2) = 1 t t 2 e 1 e 2 t 2 e 2 1 + t e 2 = t e 1 e 2 t 2 e 2 1 + t e 2 \to e 1

$\frac{1}{t}f(te_1,te_2)=\frac{1}{t}\frac{t^2e_1e_2}{t^2e_1^2+te_2}=\frac{te_1e_2}{t^2e_1^2+te_2}\to e_1$

所以 $(0,0)$ 处所有方向导数均存在，但是 $f$ 在 $(0,0)$ 处不连续，因为当 $x^2$ 靠近 $-y$ 时 $f$ 会非常大(例如，给定 $\delta,M$ ，选择 $(x,y)$ 使得 $x^2=-y+\varepsilon,\Vert(x,y)\Vert<\delta$ ，那么 $f(x,y)=xy/\varepsilon$ ，这就表明 $\varepsilon$ 很小时 $f(x,y)$ 可以比 $M$ 还大，从而 $f$ 在 $D((0,0),\delta)$ (对任何 $\delta>0$ )上不是有界的，所以函数在 $(0,0)$ 处不是连续的)故根据定理3， $f$ 在 $(0,0)$ 处不是可微的。