####并行版###标签传播算法（Label Propagation）及Python实现

标签传播算法（Label Propagation）及Python实现

zouxy09@qq.com

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       众所周知，机器学习可以大体分为三大类：监督学习、非监督学习和半监督学习。监督学习可以认为是我们有非常多的labeled标注数据来train一个模型，期待这个模型能学习到数据的分布，以期对未来没有见到的样本做预测。那这个性能的源头--训练数据，就显得非常感觉。你必须有足够的训练数据，以覆盖真正现实数据中的样本分布才可以，这样学习到的模型才有意义。那非监督学习就是没有任何的labeled数据，就是平时所说的聚类了，利用他们本身的数据分布，给他们划分类别。而半监督学习，顾名思义就是处于两者之间的，只有少量的labeled数据，我们试图从这少量的labeled数据和大量的unlabeled数据中学习到有用的信息。

一、半监督学习

       半监督学习（Semi-supervised learning）发挥作用的场合是：你的数据有一些有label，一些没有。而且一般是绝大部分都没有，只有少许几个有label。半监督学习算法会充分的利用unlabeled数据来捕捉我们整个数据的潜在分布。它基于三大假设：

       1）Smoothness平滑假设：相似的数据具有相同的label。

       2）Cluster聚类假设：处于同一个聚类下的数据具有相同label。

       3）Manifold流形假设：处于同一流形结构下的数据具有相同label。

       例如下图，只有两个labeled数据，如果直接用他们来训练一个分类器，例如LR或者SVM，那么学出来的分类面就是左图那样的。如果现实中，这个数据是右图那边分布的话，猪都看得出来，左图训练的这个分类器烂的一塌糊涂、惨不忍睹。因为我们的labeled训练数据太少了，都没办法覆盖我们未来可能遇到的情况。但是，如果右图那样，把大量的unlabeled数据（黑色的）都考虑进来，有个全局观念，牛逼的算法会发现，哎哟，原来是两个圈圈（分别处于两个圆形的流形之上）！那算法就很聪明，把大圈的数据都归类为红色类别，把内圈的数据都归类为蓝色类别。因为，实践中，labeled数据是昂贵，很难获得的，但unlabeled数据就不是了，写个脚本在网上爬就可以了，因此如果能充分利用大量的unlabeled数据来辅助提升我们的模型学习，这个价值就非常大。

       半监督学习算法有很多，下面我们介绍最简单的标签传播算法（label propagation），最喜欢简单了，哈哈。

二、标签传播算法

       标签传播算法（label propagation）的核心思想非常简单：相似的数据应该具有相同的label。LP算法包括两大步骤：1）构造相似矩阵；2）勇敢的传播吧。

2.1、相似矩阵构建

       LP算法是基于Graph的，因此我们需要先构建一个图。我们为所有的数据构建一个图，图的节点就是一个数据点，包含labeled和unlabeled的数据。节点i和节点j的边表示他们的相似度。这个图的构建方法有很多，这里我们假设这个图是全连接的，节点i和节点j的边权重为：

       这里，α是超参。

       还有个非常常用的图构建方法是knn图，也就是只保留每个节点的k近邻权重，其他的为0，也就是不存在边，因此是稀疏的相似矩阵。

2.2、LP算法

       标签传播算法非常简单：通过节点之间的边传播label。边的权重越大，表示两个节点越相似，那么label越容易传播过去。我们定义一个NxN的概率转移矩阵P：

       P_ij表示从节点i转移到节点j的概率。假设有C个类和L个labeled样本，我们定义一个LxC的label矩阵Y_L，第i行表示第i个样本的标签指示向量，即如果第i个样本的类别是j，那么该行的第j个元素为1，其他为0。同样，我们也给U个unlabeled样本一个UxC的label矩阵Y_U。把他们合并，我们得到一个NxC的soft label矩阵F=[Y_L;Y_U]。soft label的意思是，我们保留样本i属于每个类别的概率，而不是互斥性的，这个样本以概率1只属于一个类。当然了，最后确定这个样本i的类别的时候，是取max也就是概率最大的那个类作为它的类别的。那F里面有个Y_U，它一开始是不知道的，那最开始的值是多少？无所谓，随便设置一个值就可以了。

       千呼万唤始出来，简单的LP算法如下：

       1）执行传播：F=PF

       2）重置F中labeled样本的标签：F_L=Y_L

       3）重复步骤1）和2）直到F收敛。

       步骤1）就是将矩阵P和矩阵F相乘，这一步，每个节点都将自己的label以P确定的概率传播给其他节点。如果两个节点越相似（在欧式空间中距离越近），那么对方的label就越容易被自己的label赋予，就是更容易拉帮结派。步骤2）非常关键，因为labeled数据的label是事先确定的，它不能被带跑，所以每次传播完，它都得回归它本来的label。随着labeled数据不断的将自己的label传播出去，最后的类边界会穿越高密度区域，而停留在低密度的间隔中。相当于每个不同类别的labeled样本划分了势力范围。

2.3、变身的LP算法

       我们知道，我们每次迭代都是计算一个soft label矩阵F=[Y_L;Y_U]，但是Y_L是已知的，计算它没有什么用，在步骤2）的时候，还得把它弄回来。我们关心的只是Y_U，那我们能不能只计算Y_U呢？Yes。我们将矩阵P做以下划分：

       这时候，我们的算法就一个运算：

       迭代上面这个步骤直到收敛就ok了，是不是很cool。可以看到F_U不但取决于labeled数据的标签及其转移概率，还取决了unlabeled数据的当前label和转移概率。因此LP算法能额外运用unlabeled数据的分布特点。

       这个算法的收敛性也非常容易证明，具体见参考文献[1]。实际上，它是可以收敛到一个凸解的：

       所以我们也可以直接这样求解，以获得最终的Y_U。但是在实际的应用过程中，由于矩阵求逆需要O(n³)的复杂度，所以如果unlabeled数据非常多，那么I – P_UU矩阵的求逆将会非常耗时，因此这时候一般选择迭代算法来实现。

三、LP算法的Python实现

       Python环境的搭建就不啰嗦了，可以参考前面的博客。需要额外依赖的库是经典的numpy和matplotlib。代码中包含了两种图的构建方法：RBF和KNN指定。同时，自己生成了两个toy数据库：两条长形形状和两个圈圈的数据。第四部分我们用大点的数据库来做实验，先简单的可视化验证代码的正确性，再前线。

       算法代码：

       测试代码：

       该注释的，代码都注释的，有看不明白的，欢迎交流。不同迭代次数时候的结果如下：

       是不是很漂亮的传播过程？！在数值上也是可以看到随着迭代的进行逐渐收敛的，迭代的数值变化过程如下：

四、LP算法MPI并行实现

       这里，我们测试的是LP的变身版本。从公式，我们可以看到，第二项P_ULY_L迭代过程并没有发生变化，所以这部分实际上从迭代开始就可以计算好，从而避免重复计算。不过，不管怎样，LP算法都要计算一个UxU的矩阵P_UU和一个UxC矩阵F_U的乘积。当我们的unlabeled数据非常多，而且类别也很多的时候，计算是很慢的，同时占用的内存量也非常大。另外，构造Graph需要计算两两的相似度，也是O(n²)的复杂度，当我们数据的特征维度很大的时候，这个计算量也是非常客观的。所以我们就得考虑并行处理了。而且最好是能放到集群上并行。那如何并行呢？

       对算法的并行化，一般分为两种：数据并行和模型并行。

       数据并行很好理解，就是将数据划分，每个节点只处理一部分数据，例如我们构造图的时候，计算每个数据的k近邻。例如我们有1000个样本和20个CPU节点，那么就平均分发，让每个CPU节点计算50个样本的k近邻，然后最后再合并大家的结果。可见这个加速比也是非常可观的。

       模型并行一般发生在模型很大，无法放到单机的内存里面的时候。例如庞大的深度神经网络训练的时候，就需要把这个网络切开，然后分别求解梯度，最后有个leader的节点来收集大家的梯度，再反馈给大家去更新。当然了，其中存在更细致和高效的工程处理方法。在我们的LP算法中，也是可以做模型并行的。假如我们的类别数C很大，把类别数切开，让不同的CPU节点处理，实际上就相当于模型并行了。

       那为啥不切大矩阵P_UU，而是切小点的矩阵F_U，因为大矩阵P_UU没法独立分块，并行的一个原则是处理必须是独立的。 矩阵F_U依赖的是所有的U，而把P_UU切开分发到其他节点的时候，每次F_U的更新都需要和其他的节点通信，这个通信的代价是很大的（实际上，很多并行系统没法达到线性的加速度的瓶颈是通信！线性加速比是，我增加了n台机器，速度就提升了n倍）。但是对类别C也就是矩阵F_U切分，就不会有这个问题，因为他们的计算是独立的。只是决定样本的最终类别的时候，将所有的F_U收集回来求max就可以了。

       所以，在下面的代码中，是同时包含了数据并行和模型并行的雏形的。另外，还值得一提的是，我们是迭代算法，那决定什么时候迭代算法停止？除了判断收敛外，我们还可以让每迭代几步，就用测试label测试一次结果，看模型的整体训练性能如何。特别是判断训练是否过拟合的时候非常有效。因此，代码中包含了这部分内容。

       好了，代码终于来了。大家可以搞点大数据库来测试，如果有MPI集群条件的话就更好了。

       下面的代码依赖numpy、scipy（用其稀疏矩阵加速计算）和mpi4py。其中mpi4py需要依赖openmpi和Cpython，可以参考我之前的博客进行安装。

五、参考资料

[1]Semi-SupervisedLearning with Graphs.pdf