算法学习笔记（最短路—

算法学习笔记（最短路——Bellman-Ford）

本文主要是介绍算法学习笔记（最短路——Bellman-Ford），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

$B e ll man — F or d$ 是一种单源最短路径算法，可以用于边权为负的图，但是只能用于小图。

大概过程：

枚举每一条边，更新可以更新的节点（起点到自己距离为 $0$ ，从地点开始向外）。
重复第一个步骤 $n - 1$ 次（起点不用），每一轮至少有一个节点会被更新出最短路径（和 $D ijk s t r a$ 中用到的贪心思想有点像）。

Dijkstra传送门

算法复杂度：很明显需要 $n - 1$ 个点都需要枚举一次，每次都需要枚举 $m$ 条边，复杂度为 $O (nm)$ 。

同时这个算法还可以判断是否存在负环。只要更新完 $n - 1$ 次后，还有点可以被更新最短路，那就是存在负环的，因为只有负环是每走一圈路径长度都会往下减，就可以无限更新，而正常图我们只要枚举 $n - 1$ 遍。

也可以记录每个节点最短路的路径。（前面发过的最短路算法应该也有，可以参考 $Bellman_Ford$ 的处理办法）

同样的，通过例题理解代码。

【模板】Bellman-Ford算法-StarryCoding | 踏出编程第一步

题目描述

$n$ 点 $m$ 边的带负权有向图（连通，可能存在重边与自环），求 $1$ 到所有点的单源最短路的距离。

保证结点 $1$ 可以到达所有结点。

如果图中存在负环，则只输出一个整数 $- 1$ 。

输入描述

第一行两个整数 $\leq n , m \leq 1 \times 10^4)$

接下来 $m$ 行，每行一条单向边 $x, y, z$ 表示存在一条从 $x$ 到 $y$ 的距离为 $z$ 的通道。 $\leq x, y \leq n, -10^9 \leq z \leq 10^9)$

输出描述

一行 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数表示从点 $1$ 到点 $n$ 的最短距离。

如果图中存在负环，则只输出一个整数 $- 1$ 。

输入样例1

输出样例1

0 1 -1 0 -5

解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5 + 9;
using ll = long long;
const ll inf = 2e18;struct Edge
{int x;ll w;
};int n, m;
vector<Edge> g[N];
ll d[N];
//记录前驱节点，用于打印路径。
// int pre[N];void print(int s, int t)        //打印路径用的
{if(s == t){cout << s << ' ';return;}print(s, pre[t])cout << t << ' ';
}void solve()
{cin >> n >> m;for(int i = 1; i <= m; ++i){int u, v;ll w; cin >> u >> v >> w;g[u].push_back({v, w});}//d[i]表示从起点到点i的距离。for(int i = 1; i <= n; ++i) d[i] = inf;d[1] = 0;bool circle;    //判断负环，最后一次出来之后还是true就是一直在更新，有负环for(int i = 1; i <= n; ++i) //枚举n遍{circle = false;for(int x = 1; x <= n; ++x)     //枚举每天边{for(auto [y, w] : g[x]){if(d[x] + w < d[y])     //如果能更新{d[y] = d[x] + w;// pre[x] = y;  如有需要，记录路径circle = true;}}}}if(circle) cout << "-1" << '\n';else{for(int i = 1; i <= n; ++i) cout << d[i] << ' ';}
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);int _ = 1;while(_--) solve();return 0;
}