聚类有效性检验（Hubert'Γ ）

本文主要是介绍聚类有效性检验（Hubert'Γ ），希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

问题的提出

假设现在有N个样本需要聚类，根据某个聚类算法我们把这N个样本聚为K个簇，现在问题是怎么确定现在的聚类结果是有意义的，而不是仅仅通过随机得到的。下面我们将构造Hubert’Γ 统计量，通过假设检验的方法来解决这一问题。以下内容大部分出至Jain和Dubes的聚类教程《Algorithms for Clustering Data》。部分理解可能有误，欢迎指出错误。

所需用到的定义

在具体论述之前，我先直接给定义，具体说明放在后面。
先定义两个N*N大小的矩阵X和Y。
$X(i，j)$表示样本i和样本j的距离，是对称阵。
$Y(i，j)$的定义如下：

$$Y(i,j)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\text{$if$ objects i and objects j have the same category label},\\ 1&\text{$if$ not}. \end{array}\right.\tag{1}$$
接下来根据上面2个矩阵构造Γ统计量
未标准化前： $$Γ=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^nX(i,j)*Y(i,j)\tag{2}$$
标准化的Γ统计量：
$$Γ=\{(1/M)\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^n[X(i,j)-m_x][Y(i,j)-m_y]\}/s_xs_y\tag{3}$$
其中
$$M=n(n-1)/2\tag{4}$$
$$m_x=(1/M)\sum\sum X(i,j)\tag{5}$$
$$m_y=(1/M)\sum\sum Y(i,j)\tag{6}$$
$$s_x^2=(1/M)\sum\sum X^2(i,j)-m_x^2\tag{7}$$
$$s_y^2=(1/M)\sum\sum Y(^2i,j)-m_y^2\tag{8}$$
所有的累加是在 $\{(i,j):1≤i≤n-1, i≤j≤n\}$上进行的，M是矩阵右上角元素的个数（不包括对角线上的元素）， $m_x,s_x^2$分别是矩阵X右上角元素的均值和标准差，同样的 $m_y, s_y^2$分别是矩阵Y右上角元素的均值和标准差。

基于一个实例的解释

我们从一个具体的例子出发，假设我们要对4个样本$(x_1.x_2,x_3,x_4)$进行聚类，
现在根据某个聚类算法（比如k-means)得到如下的结果：$x_1$和$x_3$被划分成一个簇，而$x_2$和$x_4$被划分被另一个簇。
我们的目的是想要知道这样的一个划分到达好不好，但聚类不同于有监督的学习，并没有一个标签来评判好坏。我们想要知道这个划分有多不寻常（unusualness），换句话说它与完全无意义的随机划分有多大的差别，因此我们需要构造前面定义过的Hubert’Γ 统计量来进行假设检验。

要搞清楚Γ统计量的意义，首先得清楚矩阵X和Y的意义。
原书中提到X和Y可以有多种定义，为方便理解，我只讲最常见的一种。

矩阵X

首先X是这4个样本两两之间的距离，比如说最常用的欧式距离，很明显X是一个对称阵，对角线上的元素为0（这个很好理解，自己和自己距离为0）。
假设在本例中

$$X=\left\{\begin{matrix}0 & 1.2 & 0.6 & 0.2 \\- & 0 & 0.3 & 0.4 \\- & - & 0 & 0.1 \\- & - & - & 0\end{matrix}\right\} \tag{9}$$

矩阵Y

从上面描述的Y的定义可以看出，Y的元素和聚类的结果有关
$Y(i,j)=0$表示样本$i$和$j$属于一个簇
$Y(i,j)=1$表示样本$i$和$j$不属于一个簇
Y反应的聚类的情况。根据上面的例子Y矩阵如下：

$$Y=\left\{\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 1 \\- & 0 & 1 & 0 \\- & - & 0 & 1 \\- & - & - & 0\end{matrix}\right\} \tag{10}$$

Γ统计量

在计算出矩阵X和Y后可由(2)式或(3)式得到统计量Γ的值，其实你会发现Γ的值就是矩阵X和Y右上角对应元素乘积的和，Γ越大意味着这两个矩阵相互之间更吻合。如果采用式(3)得到的Γ的区间为(-1,1)。
本例中根据式(2)得到：$Γ=1.2+0.2+0.3+0.1=1.8$

现在的问题是，我们想知道1.8是一个很不同寻常的值吗，如果这个聚类算法仅仅是随机进行聚类（瞎猜的），那么得到Γ=1.8的概率有多大。

现在要做的就是改变式(10)的横轴（和纵轴)的顺序，从而得到不同的Γ值
要知道式(10)是按排列$(x_1.x_2,x_3,x_4)$得到的，4个样本的排列数为4！=24
例如当排列为$(x_2,x_4,x_1,x_3)$时：

$$Y=\left\{\begin{matrix}0 & 0 & 1 & 1 \\- & 0 & 1 & 1 \\- & - & 0 & 0 \\- & - & - & 0\end{matrix}\right\} \tag{11}$$
Γ(2,4,1,3) = 0.6+0.2+0.3+0.4=1.5

24种排列的Γ的值的分布如下表：

Γ的值	1.5	1.8	2.3
频数	8	8	8

在知道了Γ的具体分布之后，就可以进行假设检验了
原假设H0：算法得到的Γ值只是Y随机排列的结果
我们发现Γ=1.8的概率为1/3, 也就是说瞎猜也有1/3的概率得到1.8的值，拒绝原假设的把握只有2/3，因此我们有理由任认为这个聚类算法其实没有任何意义。

当样本个数N取很大的值时该怎么办？

当N=4的时候，排列数为24，我们还可以算出每个Γ的值。但随着N的增长，其排列数呈指数增长，$8!= 40320$，N取12是时，其排列数超过了4亿。显然不可能计算出每种可能的Γ值，因此我们需要近似和估计统计量Γ的分布。

一种方法是对Γ的值进行随机抽样，比如抽取100个不同排列下的Γ值，先设置好不同的区间，统计落入不同区间的Γ的个数，然后画出直方图，这样就可以近似Γ的真实分布。当我们使用某种算法得到一个Γ值时，将其比较与其他100个点进行比较。

如果这个算法真的有效，那么统计量Γ的值应该足够大，比大多数随机得到的Γ[i]都要大，这样才能有足够把我拒绝原假设。

一种情况是如果随机模拟了100个Y,得到100个Γ[i]，真正聚类得到的Γ只比42个Γ[i]大，那么拒绝原假设的把握只有0.42，因此有理由怀疑这个聚类没有任何意义。

另一种情况是真正聚类得到的Γ比所有的Γ[i]都要大很多，那么我们就有充分的理由拒绝原假设，认为聚类的结果是有意义的，至于有什么意义，还需要进一步研究。

http://blog.csdn.net/tyh70537/article/details/75451836
http://blog.csdn.net/tyh70537/article/details/75309042

这篇关于聚类有效性检验（Hubert'Γ ）的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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