本文主要是介绍【数学归纳法 反证法】菲蜀定理,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
裴蜀定理(或贝祖定理,Bézout’s identity)得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约 数d,关于未知数x和y的线性不定方程(称为裴蜀等式):若a,b是整数,且(a,b)=d,那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数,特别地,一定存在整数x,y,使ax+by=d成立。
它的一个重要推论是:a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1.
定理 ⟺ \iff ⟺ 推论
假定a ≠ \neq = 0 b ≠ \neq = 0 → \rightarrow → 它们的公约数不为0。
令a1和b1的最大公约数是q,a1=qa,b1=ab。
则a1x+b1y=d ,等式左右同时除以d,变成ax+by=1
下面来证明a > 0 ,b > 0一定有整数解
初始条件:a > 0 b > 0,a和b互质。
如果a = b,且互质 → \rightarrow → a=b =1 ,则至少有解为 x=-1,y=2。
如果a ≠ \neq = b
如果 a < b,a和b互换,x和y互换。
令 c =a -b
ax + by = (b+c)x + by = b(x+y)+cx
将 b改名为a ,x+y改名为x,c改名为b ,x改名为y。则变成了:ax+by
且max(a,b)变小。
由于 c =a-b,且 a > b,故不断持续此过程,一定将a,b都变成1。故一定有解。
a > b > 0互质,则(a-b)和b互质
反证法:假定(a-b)不互质,其有公约数e>1。则 a-b = f1e ,b = f2e → \rightarrow → a = (f1+f2)e → \rightarrow → a和b有公约数 e,与假设矛盾。
a或b为负数
令abs(a)x+abs(b)y=1的一个解为(x1,y1)
如果 a < 0 b < 0 ,则解为(-x1,-y1)
如果 a < 0 b > 0,则解为(-x1,y1)
如果 a> 0 b < 0 ,则解为(x1,-y1)
多个数也符合菲蜀定理
下面来证明:如果n个数符合菲蜀定理,则n+1个数也符合。
令这 n 个数为: a 1 , a 2 ⋯ a n , a n + 1 令这n个数为: a1,a2 \cdots a_n,a_{n+1} 令这n个数为:a1,a2⋯an,an+1
令前n个数的最大公约数为:q 注意:n+1个数互质,前n个数不一定互质。
根据菲蜀定理:
则 a 1 x 1 + a 2 x 2 ⋯ a n x n = q 式一 q y 1 + a n + 1 x n + 1 = 1 式二 则 a1x1+a2x2 \cdots a_nx_n = q \quad 式一 \\ qy1 +a_{n+1}x_{n+1} =1 \quad 式二 则a1x1+a2x2⋯anxn=q式一qy1+an+1xn+1=1式二
将式一左右都乘以y1的
a 1 x 1 y 1 + a 2 x 2 y 1 ⋯ a n x n y 1 = q y 1 式三 a1x1y1+a2x2y1 \cdots a_nx_ny1 = qy1 \Large \quad 式三 a1x1y1+a2x2y1⋯anxny1=qy1式三
联合式二式三得:
a 1 x 1 y 1 + a 2 x 2 y 1 ⋯ a n x n y 1 + a n + 1 x n + 1 = 1 a1x1y1+a2x2y1 \cdots a_nx_ny1 +a_{n+1}x_{n+1} = 1 a1x1y1+a2x2y1⋯anxny1+an+1xn+1=1
解为:
x 1 y 1 , x 2 y 1 , ⋯ x n y 1 , x n + 1 x1y1 , x2y1 , \cdots x_ny1,x_{n+1} x1y1,x2y1,⋯xny1,xn+1 得证
如果有整数解,则一定互值
反证法:假定有公约数q,q>1。则 ax+by ⋯ \cdots ⋯ 之和一定是q的倍数,不会为1。
扩展阅读
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测试环境
操作系统:win7 开发环境: VS2019 C++17
或者 操作系统:win10 开发环境: VS2022 C++17
如无特殊说明,本算法用**C++**实现。
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