【C++历练之路】AVL树：自平衡二叉搜索树的优雅解决方案

2024-04-22 19:04
文章标签 c++ 解决方案 搜索 优雅 二叉 平衡 avl 历练

本文主要是介绍【C++历练之路】AVL树：自平衡二叉搜索树的优雅解决方案，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

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前言：前一篇C++文章中，我们介绍了map、set、multimap以及multiset的使用，在介绍中我们可以发现其中几个容器的底层都是使用搜索二叉树实现的，但是二叉搜索树本身是有很大的缺陷的，只要插入的数据是有序或接近有序，搜索二叉树就会变成一个单只树，并且查找的时间复杂度也会从O(logn)退化成O(n)，所以map与set的底层结构不仅仅是一个搜索树这么简单，而应该是一个平衡树！！！接下来让我认识一下平衡树。

目录

1. AVL 树

1.1 AVL树的概念

1.2 AVL树节点的定义

1.3 AVL树的插入

1.4 AVL树的旋转

1.5 AVL树的验证

1.6 AVL树的删除(了解)

1.7 AVL树的性能

1. AVL 树

1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii
和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：
1.它的左右子树都是AVL树
2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。 

1.2 AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorpair<K, V> _kv;AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0), _kv(kv){}
};

我们这里是仿照map的底层实现的搜索树，所以我们使用pair类型存储kv模型。

1.3 AVL树的插入

VL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

根据AVL树的成立规则，每个节点的平衡因子-1/0/1，如果绝对值大于1，那么就不符合平衡树的规则。所以在每次插入新节点时，就要更新其当前子树节点以及祖先节点。我们先写一个基本二叉树的插入函数：

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;
}

 然后就是平衡因子的更新，我们默认平衡因子的结果就是右子树-左子树。我们更新的原则就是如果新插入的节点为p的左边则p的平衡因子--，反之新插入的节点为p的右边时p的平衡因子++，而其祖先节点的平衡因子更新的判断则是看其子树高度是否改变，如果更新后的p的平衡因子为0，则其高度没有改变，我们直接break跳出循环，反之继续往父节点进行向上判断。

while (parent)
{if (cur == parent->left){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = cur->_parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){//}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){//}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){//}else{//}break;}else{assert(false);}
}return true;
}

如果上面的节点的平衡因子绝对值为2，则此树已经不符合平衡树的基本规则了，我们就要就行特殊处理。还有一种情况是节点的平衡因子绝对值大于2，说明这棵树在有2的因子时就没有进行调整，我们直接assert进行终止程序即可。

1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，
使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
 1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
 2. 60可能是根节点，也可能是子树
  如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
  如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树 

void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subR;}else{ppnode->_right = subR;}subR->_parent = ppnode;}parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;
}

  pSubL: pParent的左孩子
  pSubLR: pParent左孩子的右孩子

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

实现及情况考虑可参考右单旋：

void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* ppnode = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppnode->_left == parent){ppnode->_left = subL;}else{ppnode->_right = subL;}subL->_parent = ppnode;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;
}

3.新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋 

 将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
行调整

void RotateLR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

参考右左双旋：

void RotateRL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(subR);RotateL(parent);subRL->_bf = 0;if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){parent->_bf = 0;subR->_bf = 1;}else{parent->_bf = 0;subR->_bf = 0;}
}

总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋
旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新

1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
        每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
        节点的平衡因子是否计算正确 

我们不能使用层序遍历与将平衡因子bf打印出来进行判断，因为有可能计算或更新平衡因子出错导致误判，所以我们必须进行递归算出每个点的左右子树的高度差与bf进行对照，并且必须满足平衡树的规则。

int _Height(Node* root)
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}int Height()
{return _Height(_root);
}bool _IsBalance(Node* root, int& height)
{if (root == nullptr){height = 0;return true;}int leftHeight = 0, rightHeight = 0;if (!_IsBalance(root->_left, leftHeight)|| !_IsBalance(root->_right, rightHeight)){return false;}if (abs(rightHeight - leftHeight) >= 2){cout << root->_kv.first << "不平衡" << endl;return false;}if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}height = leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;return true;
}bool IsBalance()
{int height = 0;return _IsBalance(_root, height);
}

这里我们使用后序遍历进行递归判断，为什么不用前序？因为前序遍历会导致程序的计算结果冗余，导致时间复杂度变高(当然前序遍历也行)。

1.6 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不
错与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。
具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。 

1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操
作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，
有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数
据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

这篇关于【C++历练之路】AVL树：自平衡二叉搜索树的优雅解决方案的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！


http://www.chinasem.cn/article/926613。

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