数理逻辑学习笔记[0] 命题逻辑：语义

本文主要是介绍数理逻辑学习笔记[0] 命题逻辑：语义，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

1 命题逻辑：语义

1.1 命题和连接符

0. Q: 数学语言，如“$x_0$是集合$X$的最大元”是符号语言嘛？如何把它转化为符号语言？
   A: 不是。数学语言是自然语言+记号。$x_0\in X,\forall x\in X,x\le x_0$. 注意$x_0\in X$不能遗漏！
1. Q: 逻辑矛盾和悖论有何联系？悖论常常如何产生矛盾？
   A: 逻辑矛盾是同时断言一个陈述和它的否定。悖论是一种逻辑矛盾的形式（导致自相矛盾的陈述的一种）。
   实际上，悖论常常是自指语句，引起自相矛盾。当然也可以：“循环”地“指一圈”，导致自相矛盾。
   注：悖论不是命题。并且，存在既不是悖论也不是命题的陈述句（即不是悖论，但并不具有真假意义）。
2. Q: 用多项式及其在某点的值类比，直观阐述简单命题、复合命题、命题变元、命题形式的关系。
   A: 简单命题相当于一个数字，如0. 复合命题相当于已知数组成的表达式，如$1+1$. 命题变元相当于未知数，如$x$. 命题形式相当于含未知数代数式，如$1+x+y$.
   复合命题的真值依赖于其中简单命题（原子）的真值及连接符。

1.2 真值函数和真值表

0. Q: $(p\vee q)\vee r$对应的布尔函数（真值函数）定义域和值域分别是什么？将它表示成真值表为几行几列？一共有多少个与它相同定义域和值域的真值函数？
   A: f : { 1 , 0 } 3 → { 1 , 0 } f:\{1,0\}^3\to\{1,0\} f:{1,0}3→{1,0}.
   （如果表头4列分别为$p,q,r,(p\vee q)\vee r$，不计表头所占的1行，则）4列，8行。
   $2^{2^3}$个。（当然，我们认为当定义域、值域和对应法则均相同的函数是相同的，而不重复计数。即使其对应命题形式可能不同）
1. Q: “如果$1=2$则$-1=-2$”是真命题吗？
   A: （按数字和符号通常的意义理解）是真命题。因为$1=2$为假命题，故用$\to$连接它和任何命题都得到真命题。（这是“空虚(vacuous)的真”）
2. Q: 如何理解“命题形式可嵌套，可潜在无限长；给定一个命题形式，则为有限长”？
   A: 嵌套：命题形式由归纳（递归）定义，即首先任一变元是命题形式，其次变元间各种（一元或二元）运算也得到命题形式。
   “潜在”意为任给一个命题形式，都存在“比它更长”的，此过程可以“无限进行”下去。但是每一个确定的命题形式都是有限长的。
   注：线性代数中无限维线性空间中“线性表出”的定义也是如此。确定的某一种线性表出方式一定只含有限个向量。但并不存在一个整数是所有表出方式中向量个数的上界。
3. Q: 如何理解“技术性符号如( ) ...都不是必要的”？请解释：没有省略号，怎么表示$p_1\wedge p_2\wedge \cdots \wedge p_n$呢？
   A: 比如中缀表达式转化为前缀表达式（$p\vee q\vee r$转化为$\vee \vee pqr$）则无需括号。用省略号表达命题形式只是为了表达方便，完全可以不需要。
   “没有省略号，怎么表示$p_1\wedge$

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