USACO-Section2.3 Cow Pedigrees【动态规划】

本文主要是介绍USACO-Section2.3 Cow Pedigrees【动态规划】，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

题目描述：

农民John准备购买一群新奶牛。在这个新的奶牛群中, 每一个母亲奶牛都生两个小奶牛。这些奶牛间的关系可以用二叉树来表示。这些二叉树总共有N个节点(3 <= N < 200)。这些二叉树有如下性质:
每一个节点的度是0或2。度是这个节点的孩子的数目。
树的高度等于K(1 < K < 100)。高度是从根到最远的那个叶子所需要经过的结点数; 叶子是指没有孩子的节点。
有多少不同的家谱结构? 如果一个家谱的树结构不同于另一个的, 那么这两个家谱就是不同的。输出可能的家谱树的个数除以9901的余数。（翻译来源：NOCOW）

INPUT FORMAT

第1行: 两个空格分开的整数, N和K。

OUTPUT FORMAT

第1行: 一个整数，表示可能的家谱树的个数除以9901的余数。

SAMPLE INPUT

5 3

SAMPLE OUTPUT

OUTPUT DETAILS

有5个节点，高为3的两个不同的家谱：

     @                                 @/ \                               / \@   @            和               @   @/ \                                   / \@   @                                 @   @

解题思路：

这道题困扰了我许久。我一直在想如何用树的知识来解决此问题，然后在考虑如何通过二叉树的特性来解决，一开始考虑的是递归循环，通过深搜来得出所有结果，从而判断是否可以得出结果，但是这样做的话时间是指数级的，想了想就放弃了，而且总感觉有其他好方法。然后，在晚上浏览了一下nocow官方的解法，发现真的是神奇。说实话，这种方法并不难理解而且很形象(例如一颗深度为4的树可以由两棵深度为3的树组成，也可以由一棵深度为2或1和一棵深度为3的树组成，只要节点数量对即可，当然，深度为3的树是必须的)，但是将一棵二叉树看成两棵子树的和这种动归的思路之前从未考虑过，感到了震撼Orz。官方解释的已经很全面了，下面是代码。


#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#define MOD 9901
int table[101][202],N,K,c;//table数组用来保存产生第i行第j个节点可能的个数，N为节点个数，K为树的深度，c用来判断数的结构 
int smalltrees[101][202];//保存深度小于i-1且节点数为j的树的个数 int main() {    FILE *fin=fopen("nocows.in","r");FILE *fout=fopen("nocows.out","w");   fscanf (fin,"%d %d",&N,&K);table[1][1]=1;for (int i=2;i<=K;i++) {for (int j=1;j<=N;j+=2)for (int k=1;k<=j-1-k;k+=2) {if (k!=j-1-k) c=2; else c=1;  //判断树的结构是否对称  table[i][j]+=c*(smalltrees[i-2][k]*table[i-1][j-1-k]  // 左子树深度小于i-1+table[i-1][k]*smalltrees[i-2][j-1-k]  // 右子树深度小于i-1+table[i-1][k]*table[i-1][j-1-k]);// 都为i-1table[i][j]%=MOD;}for (int k=0;k<=N;k++) { // 确保接下来第i次迭代中的smalltrees[i-2][j]包含了深度小于i-1且节点数为j的树的个数smalltrees[i-1][k]+=table[i-1][k]+smalltrees[i-2][k]; smalltrees[i-1][k]%=MOD; }}fprintf (fout,"%d\n",table[K][N]);return 0;
}