高等代数复习：线性映射

本文主要是介绍高等代数复习：线性映射，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

线性映射

基本定义和记号

定义：线性映射
设数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间 $U,V$，映射 $\phi :V\to U$ 满足：

1. $\phi (\alpha +\beta )=\phi (\alpha )+\phi (\beta ),\alpha ,\beta \in V$
2. $\phi (k\alpha )=k\phi (\alpha ),k\in \mathbb{K},\alpha \in V$

则称 $\phi$ 是 $V\to U$ 的线性映射；若 $\phi$ 是双射，则称 $\phi$ 是线性同构

命题：线性映射全体构成的线性空间
设 $\mathcal{L}(V,U)$ 表示从 $V$ 到 $U$ 的线性映射全体，则在映射的加法和数乘下成为一个线性空间

注：

• $V\to \mathbb{K}$ 的线性映射称为 $V$ 上的线性函数
• $V$ 上所有线性函数构成的线性空间称为 $V$ 的共轭空间，记为 $V^{\ast }$
• 若 $V$ 有限维，$V$ 的共轭空间也称对偶空间

命题：矩阵全体构成的线性空间
设 $M_{m\times n}(\mathbb{K})$ 表示 $m\times n$ 的矩阵全体，则在矩阵的加法和数乘下成为一个线性空间

注：若无声明，本节以下均约定记号：

• $U,V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，$\dim V=n,\dim U=m$
• { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 是 $V$ 的一组基， { f 1 , f 2 , … , f m } \{f_1,f_2,\dots,f_m\} {f1​,f2​,…,fm​} 是 $U$ 的一组基
• 记号 $\mathcal{L}(V,U),M_{m\times n}(\mathbb{K})$
• 映射 $\phi ,\psi \in \mathcal{L}(V,U)$，矩阵 $A,B\in M_{m\times n}(\mathbb{K})$

线性映射与矩阵

命题

• 若 $\psi (e_i)=\phi (e_i)$，则 $\psi =\phi$
• 给定 $U$ 中 $n$ 个向量 ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n$，有且仅有一个 $\phi \in \mathcal{L}(V,U)$ 满足 $\phi (e_i)={\beta }_i$

注：该命题说的是要确定 $U,V$ 之间的一个线性映射完全由它在基上的作用决定

定义：给定基下的矩阵
设
$$\{\begin{array}{l}\phi (e_1)=a_{11}{f}_1+a_{12}{f}_2+\cdots +a_{1m}{f}_m\\ \phi (e_2)=a_{21}{f}_1+a_{22}{f}_2+\cdots +a_{2m}{f}_m\\ \cdots \\ \phi (e_n)=a_{n1}{f}_1+a_{n2}{f}_2+\cdots +a_{nm}{f}_m\end{array}$$
则称系数矩阵 $A$ 的转置为 $\phi$ 在给定基 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 与 { f 1 , f 2 , … , f m } \{f_1,f_2,\dots,f_m\} {f1​,f2​,…,fm​} 下的表示矩阵

命题
若 $\alpha \in V$ 在基 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 下的坐标为 $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n{)}^{\prime }$，则 $\phi (\alpha )$ 在 { f 1 , f 2 , … , f m } \{f_1,f_2,\dots,f_m\} {f1​,f2​,…,fm​} 下的坐标 $\mu =A^{\prime }\lambda$ 当且仅当上一定义中的方程组成立

定理：线性映射空间与矩阵空间的同构
$\mathcal{L}(V,U)$ 与 $M_{m\times n}(\mathbb{K})$ 同构，同构映射为 $$T:\mathcal{L}(V,U)\to M_{m\times n}(\mathbb{K}),T(\phi )=A$$其中 $A$ 是 $\phi$ 在给定基下的矩阵

命题
记线性同构：
$${\eta }_1:V\to {\mathbb{K}}_n,{\eta }_1(a_1{e}_1+\cdots +a_n{e}_n)=(a_1,\dots ,a_n{)}^{\prime }$$类似地
$${\eta }_2:U\to {\mathbb{K}}_m,{\eta }_2(b_1{f}_1+\cdots +b_m{f}_m)=(b_1,\dots ,b_m{)}^{\prime }$$设 $\phi \in \mathcal{L}(V,U),T(\phi )=A$ 是 $\phi$ 在给定基下的表示矩阵，设映射 $${\phi }_A:{\mathbb{K}}_n\to {\mathbb{K}}_m,\phi (x)=Ax$$则有 $${\eta }_2\phi ={\phi }_A{\eta }_1$$

注：该命题说明了线性映射和矩阵的某种等价性，即先做线性映射再取坐标等价于先取坐标再左乘表示矩阵

证明思路
只需验证 ${\eta }_2\phi (e_i)={\phi }_A{\eta }_1(e_i)$

命题
设同构映射 $T:\mathcal{L}(V,U)\to M_{m\times n}(\mathbb{K}),T(\phi )=A$，$W$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间， { g 1 , g 2 , … , g p } \{g_1,g_2,\dots,g_p\} {g1​,g2​,…,gp​} 是 $W$ 的一组基，$\psi \in \mathcal{L}(U,W)$，则 $T(\psi \phi )=T(\psi )T(\phi )$

命题
设 $\phi \in \mathcal{L}(V)$， { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 与 { f 1 , f 2 , … , f n } \{f_1,f_2,\dots,f_n\} {f1​,f2​,…,fn​} 是 $V$ 的两组基且从 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 到 { f 1 , f 2 , … , f n } \{f_1,f_2,\dots,f_n\} {f1​,f2​,…,fn​} 的过渡矩阵为 $P$，若 $\phi$ 在基 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 下的表示矩阵为 $A$，在 { f 1 , f 2 , … , f n } \{f_1,f_2,\dots,f_n\} {f1​,f2​,…,fn​} 下的表示矩阵为 $B$，则
$$B=P^{-1}AP$$

注：该命题说的是同一线性映射在不同基下的矩阵相似

证明
任设 $\alpha \in V$ 且
$$\alpha ={\lambda }_1{e}_1+{\lambda }_2{e}_2+\cdots +{\lambda }_n{e}_n={\mu }_1{f}_1+{\mu }_2{f}_2+\cdots +{\mu }_n{f}_n$$则
$$({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n{)}^{\prime }=P({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n)$$又设
$$\phi (\alpha )={\xi }_1{e}_1+{\xi }_2{e}_2+\cdots +{\xi }_n{e}_n={\eta }_1{f}_1+{\eta }_2{f}_2+\cdots +{\eta }_n{f}_n$$则由定义
$$({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n{)}^{\prime }=A({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n{)}^{\prime }$$$$({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n{)}^{\prime }=B({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n{)}^{\prime }$$又
$$({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_n{)}^{\prime }=P({\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_n{)}^{\prime }$$则
$$PB({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n{)}^{\prime }=AP({\mu }_1,{\mu }_2,\dots ,{\mu }_n{)}^{\prime }$$由任意性，得$$PB=AP$$

线性映射的像与核

定义：像与核
$\phi$ 的全体像元素称为 $\phi$ 的像，记为 $Im\phi$
被$\phi$ 映为零的元素全体称为 $\phi$ 的核，记为 $Ker\phi$

性质

• $Im\phi \in U$，$Ker\phi \in V$
• $Im\phi$ 是 $U$ 的子空间，$Ker\phi$ 是 $V$ 的子空间

命题
$\phi$ 是满射当且仅当 $Im\phi =U$，$\phi$ 是单射当且仅当 $Ker\phi =0$

定理
设 $\phi$ 在给定基下的矩阵为 $A$，则$$\dim Im\phi =rank(A),\dim Ker\phi =n-rank(A)$$

证明思路
先证 $${\eta }_1(Ker\phi )\subset Ker{\phi }_A,{\eta }_2(Im\phi )\subset Im{\phi }_A$$
将线性同构 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 限制为单映射 ${\eta }_1^{\prime }:Ker\phi \to Ker{\phi }_A,{\eta }_2^{\prime }:Im\phi \to Im{\phi }_A$，可证 ${\eta }_1^{\prime },{\eta }_2^{\prime }$ 是满射，从而是线性同构
再证 $Im\phi$ 即为 $A$ 的列向量张成的空间，$Ker\phi$ 为 $Ax=0$ 的解空间

推论：（维数公式）
$$\dim Im\phi +\dim Ker\phi =\dim V$$

推论
下列等价

• $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\phi$ 是可逆变换
• $\phi$ 是单映射或满映射
• $\phi$在任意一组基下的表示矩阵是可逆阵

像空间和核空间的计算
像空间：求表示矩阵的列向量组的极大无关组，即得 $Im\phi$ 的一组基
核空间：求表示矩阵作为系数矩阵的齐次线性方程组的基础解系，即得 $Ker\phi$ 的一组基

不变子空间

定义：不变子空间
设 $U$ 是 $V$ 的子空间，若 $\phi (U)\subset U$，则称 $U$ 是 $\phi$ 的不变子空间；此时称 $\phi$ 在 $U$ 上的限制 ${\phi }_U$ 为 $\phi$ 诱导的线性变换

性质

• 零空间和全空间均为不变子空间，称为平凡的不变子空间
• 核空间和像空间均为不变子空间

定理：不变子空间和表示矩阵的关系
设 $U$ 是 $V$ 上线性变换 $\phi$ 的不变子空间，且设 $U$ 的基为 { e 1 , … , e r } \{e_1,\dots,e_r\} {e1​,…,er​}，将其扩充为 $V$ 的一组基 { e 1 , … , e r , e r + 1 , … , e n } \{e_1,\dots,e_r,e_{r+1},\dots,e_n\} {e1​,…,er​,er+1​,…,en​}，则 $\phi$ 在这组基下的表示矩阵形如
$$\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{r1}& a_{r+1,1}& \cdots & a_{n1}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1r}& \cdots & a_{rr}& a_{r+1,r}& \cdots & a_{nr}\\ 0& \cdots & 0& a_{r+1,r+1}& \cdots & a_{n,r+1}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & 0& a_{r+1,n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

推论
设 $V=V_1\oplus V_2$ 且 $V_1,V_2$ 都为线性变换 $\phi$ 的不变子空间，又 { e 1 , … , e r } \{e_1,\dots,e_r\} {e1​,…,er​} 是 $V_1$ 的基， { e r + 1 , … , e n } \{e_{r+1},\dots,e_n\} {er+1​,…,en​} 是 $V_2$ 的基，则 $\phi$ 在基 { e 1 , e 2 , … , e n } \{e_1,e_2,\dots,e_n\} {e1​,e2​,…,en​} 下的表示矩阵为分块对角阵
$$\left(\begin{array}{cc}{A}_r& O\\ O& A_{n-r}\end{array}\right)$$

参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著

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