本文主要是介绍蒙特卡洛光线追踪 （准）蒙特卡洛积分 基础知识二，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
蒙特卡洛光线追踪技术系列 见 蒙特卡洛光线追踪技术
估计方法：
许多问题涉及独立随机变量xi的和，其中变量共享一个公共密度p。这些变量被称为独立同分布（iid）随机变量。当和除以变量数时，我们得到E(x)的估计：
随着N的增加，这个估计的方差减小。我们希望N足够大，我们有信心估计“足够接近”。然而，在蒙特卡罗中并没有确定的东西；我们只是得到统计上的信心，我们的估计是好的。可以肯定的是，我们必须有n=∞。这种信心是用大数定律表示的：
蒙特卡洛积分：
在这一节中，我们概述了定积分的基本蒙特卡罗解方法。然后这些技术直接应用于某些积分问题。本节的所有基本材料也包含在一些经典的蒙特卡罗文本中。这一部分的不同之处在于，它针对的是计算机图形学中出现的各种问题。对蒙特卡罗技术有兴趣的读者应该参考经典的蒙特卡罗文本之一[27，72，26，98]。
如前所述，给定一个函数f:S→R和一个随机变量x∼p，我们可以用和来近似f（x）的期望值：
方程A
因为期望值可以表示为积分，所以积分也可以用和来近似。上面的方程的形式有点笨拙；我们通常希望近似于单个函数g的积分，而不是乘积fp。我们可以通过将g=fp替换为被积函数来解决这个问题：
方程B
为了得到一个好的估计，我们需要尽可能多的样本，我们希望g/p有一个低方差（g和p应该有一个相似的形状）。智能地选择p称为重要抽样，因为如果p大，而g大，则在重要区域将有更多的样本。方程A也显示了蒙特卡罗积分的基本问题：收益递减。由于估计值的方差与1/N成正比，标准差与1/√N成正比。由于估计值中的误差与标准差的行为类似，我们需要将N乘以4才能将误差减半。
另一种减少方差的方法是将积分域S划分为几个较小的Si域，并将积分作为Si上的积分之和来计算。这叫做分层抽样。通常每个Si中只取一个样本（密度pi），在这种情况下，估计值的方差为：
可以看出，如果所有层的测量值相等，分层抽样的方差永远不会高于非分层抽样的方差：
图形学中分层采样的最常见示例是像素采样的抖动。
由这个表，我们可以看出，通过分层采样，我们可以用比较少的采样个数让标准差得到较小的值。
作为区间（0，4）上积分I，设g(x)为x的蒙特卡罗解的一个例子：
函数p的形状对N个样本估计的方差的巨大影响如上表所示。请注意，当p的形状与g的形状相似时，方差会减小。如果p=g/I，方差会降至零，但我们通常不知道，或者我们不必求助于蒙特卡罗。表所示的一个重要原则是，分层抽样往往远远优于重要抽样。虽然这种分层在I上的方差与样本数的立方成反比，但分层下的方差行为没有一般的结果。有些功能是分层不好的。一个例子是白噪声函数，其中所有区域的方差都是常数。另一方面，大多数函数将受益于分层抽样，因为每个子单元的方差通常小于整个域的方差。
总之要记住：分层抽样的效果会比较好。
准蒙特卡罗积分
尽管分布光线追踪通常被描述为方程B的应用，但许多研究者用更均匀分布（类星体）的样品（如[13，53]）代替了ζi。这种方法可以被证明是正确的，通过分析减少误差的一些差异措施[99，97，53，67]而不是在方差方面。然而，通常使用随机样本的方差分析来制定采样策略，然后在实现中使用非随机、但均匀分布的样本。这种方法几乎可以肯定是正确的，但其理由和含义尚待解释。例如，当对[0，1]上的一维积分求值时，我们可以使用[0，1]上的一组N个均匀随机采样点（x1，x2，···，xN）来获得近似值：
有趣的是，我们可以用一组非随机点（y1，y2，···，yN）替换这些点（x1，x2，···，xN），近似仍然有效。如果这些点太规则，那么我们会产生混叠，但是这些点之间的相关性（例如，使用一维Poisson盘采样）不会使估计无效（仅使用Monte Carlo参数来证明近似值是正确的）。在某种意义上，这种准蒙特卡罗方法可以被认为是使用等分布点来估计 f 的高度。这与大多数数值分析文本中的传统数值积分求积方法（因为这些文本专注于一维问题）不符，但一旦你习惯了这个想法，你的直觉就不会变差。
Monte Carlo相对于QMC（准蒙特卡洛算法）在图形方面的相对优势仍然是一个悬而未决的问题。在某些条件下，QMC确实有更好的收敛性，但这些条件在图形中往往不成立。此外，在实践中很少有足够的样本用于渐近分析。为了使问题进一步复杂化，QMC有时会产生别名。然而，这种混叠有时在视觉上并不令人反感，因为它通常比传统蒙特卡罗方法产生的噪声要好。有关此主题的更多信息，请参阅Alexander Keller最近的工作。
这篇关于蒙特卡洛光线追踪 （准）蒙特卡洛积分 基础知识二的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！
