中国(北方)大学生程序设计训练赛(第一周)E. water problem

本文主要是介绍中国(北方)大学生程序设计训练赛(第一周)E. water problem，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

函数 $f:Z^{+}\to Z$。已知 $f\left(1\right)，f\left(2\right)$ 的值，且对于任意 $x>1$，有 $f(x+1)=f\left(x\right)+f(x-1)+\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$。

求 $f\left(n\right)$

多组数据。（数据组数 $T\le 100$）

每组数据包含 $3$ 个不超过 ${10}^9$ 的正整数，分别代表 $f\left(1\right)，f\left(2\right)$ 和 $n$ 的值。

输出  $f\left(n\right)mod({10}^9+7)$ 。每组输出末尾有换行符。

题意:

题目类似斐波那契数列，但比斐波那契数列多了一项。

思路：

首先回忆斐波那契数列的计算方法：

一、递归

直接按照递推公式递归运算，此方法有大量重复计算，导致n趋近不足100就无法在有限时间内计算出来，通常作为递归讲解的例子。

二、动态规划（dp）

为了避免重复计算，我们通常用一个数组记录已经计算的值，采用记忆化搜索的动态规划，就可以减少重复计算。

根据dp[n] = dp[n-1] + dp[n-2] 从第三项开始迭代即可。

此方法的时间复杂度为O(n)，线性时间复杂度，考虑在1s内，无法计算大于1e8的数据范围。

三、矩阵快速幂

数列的递推公式为：f(1)=1，f(2)=2，f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n>=3)

　　 用矩阵表示为：

　　进一步，可以得出直接推导公式：

所以，对矩阵[1,1,1,0]进行n-2次幂运算，就可以计算出f(n)的值，此时由于幂运算可以使用快速幂运算，可以用矩阵快速幂来进行计算。

此时的时间复杂度为O(logN)

对比斐波那契数列，将其推广

由于本题中的递推关系非线性，即有sin项的约束，$f(x+1)=f\left(x\right)+f(x-1)+\sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)$。我们展开两项，得到f(x) = f(x-1) + f(x-3) + f(x-4)，通过sin的周期性，消去了常数项。

得到了一个四阶线性递推公式。

类比斐波那契数列的方法，我们需要找一个转移矩阵，满足上述矩阵运算。

由于斐波那契数列是二阶递推数列，所以存在一个2*2的矩阵A，使得：

[Fn Fn-1] = [Fn-1 Fn-2] * A      

所以以上的四阶递推公式也一定存在一个4*4的矩阵A，满足

[Fn Fn-1 Fn-2 … Fn-k+1] = A*[Fn-1 Fn-2 Fn-3 … Fn-k]

                                          = …

                                          = An-k+1 *[Fk-1 Fk-2 Fk-3 … F0]    

这里的k=5；

根据以上地推关系，拼凑出矩阵A（转移矩阵） 为[1 0 1 1,1 0 0 0，0 1 0 0，0 0 1 0]

在计算矩阵的幂时，首先我们定义矩阵乘法的运算法则（矩阵乘法公式），然后对指数进行快速幂处理，通过减少乘法次数，化时间为对数量级。

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