【算法复习二】传统基本算法(贪心、动态规划、回溯和分支限界)

2024-04-05 01:58

本文主要是介绍【算法复习二】传统基本算法(贪心、动态规划、回溯和分支限界),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

 一,贪心算法的设计思想

        • 从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标,每一步都作一个不可回溯的决策,尽可能地求得最好的解。当达到某算法中的某一步不需要再继续前进时,算法停止。


二,贪心算法的基本性质

       1)贪心选择性质

             所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择,即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素,也是贪心法与动态规划法的主要区别。

       2) 最优子结构性质

           该问题解的整体最优性依赖于其局部子问题解的最优性。这种性质是可以采用贪心算法解决问题的关键特征。例如,活动安排问题,在选择了一项活动后,它必须是最优的,否则不能得到全局的最优。


三,贪心算法的适用性

        • 贪心算法对问题只需考虑当前局部信息就要做出决策,也就是说使用贪心算法的前提是局部最优策略能导致产生全局最优解

        该算法的适用范围较小若应用不当不能保证求得问题的最佳解。更准确的方法是通过数学方法证明问题对贪心策略的选用性。


四,绝对贪心问题

        例一:Dijkstra单源最短路径问题(有向图)  

      (Dijkstra)算法思想
  按路径长度递增次序产生最短路径算法:
  把V分成两组:
  (1)S:已求出最短路径的顶点的集合
  (2)V-S=T:尚未确定最短路径的顶点集合
   将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中
   保证:1)从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于  从V0到T中任何顶点的最短路径长度
             2)每个顶点对应一个距离值
  S中顶点:从V0到此顶点的最短路径长度
     T中顶点:从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间  顶点的最短路径长度
  依据:可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径,或是从V0到Vk的  直接路径的权值;或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
 
  求最短路径步骤
  算法步骤如下:
  1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点},T中顶点对应的距离值
  若存在<V0,Vi>,d(V0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值
  若不存在<V0,Vi>,d(V0,Vi)为∝
  2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中,加入S
  3. 对T中顶点的距离值进行修改:若加进W作中间顶点,从V0到Vi的  距离值比不加W的路径要短,则修改此距离值
  重复上述步骤2、3,直到S中包含所有顶点,即S=T为止


        辅助数组:dist[ ] 存放V0到T中点距离  

                          path[ ]存放已经加入S中点到V0最短路径


        例二:Kruskal最小生成树问题(每次选权值最小边,直到生成一个最小生成树)

                  算法的运行时间为 O(nlog n)

         源码:

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define MAX_NAME 5
#define MAX_VERTEX_NUM 20 
typedef char Vertex[MAX_NAME];/*顶点名字串*/
typedef int AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];/*邻接距阵*/
struct MGraph/*定义图*/
{Vertex vexs[MAX_VERTEX_NUM]; AdjMatrix arcs; int vexnum,arcnum; 
};typedef struct
{ Vertex adjvex; /*当前点*/int lowcost;    /*代价*/
}minside[MAX_VERTEX_NUM];int LocateVex(MGraph G,Vertex u)//定位
{ int i;for(i=0;i<G.vexnum;++i)if(strcmp(u,G.vexs[i])==0)return i;return -1;
}void CreateGraph(MGraph &G)
{int i,j,k,w;Vertex va,vb;printf("请输入无向网G的顶点数和边数(以空格为分隔)\n");scanf("%d %d",&G.vexnum,&G.arcnum);printf("请输入%d个顶点的值(<%d个字符):\n",G.vexnum,MAX_NAME);for(i=0;i<G.vexnum;++i) /* 构造顶点集*/scanf("%s",G.vexs[i]);for(i=0;i<G.vexnum;++i) /*初始化邻接矩阵*/for(j=0;j<G.vexnum;++j)G.arcs[i][j]=0x7fffffff; printf("请输入%d条边的顶点1 顶点2 权值(以空格作为间隔): \n",G.arcnum);for(k=0;k<G.arcnum;++k){scanf("%s%s%d%*c",va,vb,&w); i=LocateVex(G,va);j=LocateVex(G,vb);G.arcs[i][j]=G.arcs[j][i]=w; /*对称*/}
}void kruskal(MGraph G){int set[MAX_VERTEX_NUM],i,j;int k=0,a=0,b=0,min=G.arcs[a][b];for(i=0;i<G.vexnum;i++)set[i]=i;printf("最小代价生成树的各条边为:\n");while(k<G.vexnum-1) { for(i=0;i<G.vexnum;++i)for(j=i+1;j<G.vexnum;++j)if(G.arcs[i][j]<min){min=G.arcs[i][j]; a=i; b=j; }min=G.arcs[a][b]=0x7fffffff; if(set[a]!=set[b]){printf("%s-%s\n",G.vexs[a],G.vexs[b]); k++; for(i=0;i<G.vexnum;i++)if(set[i]==set[b]) set[i]=set[a];}}}int main(){MGraph g;CreateGraph(g); kruskal(g); system("PAUSE");return 0;}
/*结果如下
请输入无向网G的顶点数和边数(以空格为分隔)
6 10
请输入6个顶点的值(<5个字符):
v1
v2
v3
v4
v5
v6
请输入10条边的顶点1 顶点2 权值(以空格作为间隔):
v1 v2 6
v1 v3 1
v1 v4 5
v2 v3 5
v2 v5 3
v4 v3 5
v4 v6 2
v3 v5 6
v3 v6 4
v5 v6 6
最小代价生成树的各条边为:
v1-v3
v4-v6
v2-v5
v3-v6
v2-v3
请按任意键继续. . .
*/
  

五,相对贪心问题

       例一,取数游戏。

        •问题描述

                2个人轮流取2n个数中的n个数,取数之和大者为胜。设计算法,让先取数者获胜,模拟取数过程。

        •问题分析

                这个游戏一般假设取数者只能看到2n个数中两边的数(第一次取时,能看到6,5则取6),用贪心算法的情况:

        •例如

               若一组数据为:6,16,27,6,12,9,2,11,6,5

               用贪心策略每次两人都取两边的数中较大的一个数,先取者胜.以A先取为例:

               取数结果为:

                      A  6,27,12,5,11=61  胜

                      B  16,6,9,6,2=39

              •但若选另一组数据:16,27,7,12,9,2,11,6

               仍都用贪心算法,先取者A败。

               取数结果为:

                        A  16,7,9,11=43

                        B  27,12,6,2=47 胜

           其实,若我们只能看到两边的数据,则此题无论先取还是后取都无必胜的策略。这时一般的策略是用近似贪心算法

           但若取数者能看到全部2n个数,则此问题可有一些简单的方法,有的虽不能保证所取数的和是最大,但确是一个先取者必胜的策略。


六,动态规划(各个问题包含公共子问题)

       1)最优决策原理:要求问题具有最优子结构(即最优解包含子问题的最优解),是一种自底向上的求解思路,与递归正好相反,每次求解到一个阶段时,该阶段求解所依赖的子问题已经完全求解完毕,因此每一步的求解都是在直到全部所需信息的情况下进行的,因此可以得到全局最优解。

       2)动态规划的决策过程:最优决策是在最后阶段形成的,然后向前倒推,直到初始阶段;而决策的具体结果及所产生的状态转移,却是由初始阶段开始进行计算的,然后向后递归或迭代,直到最终结果。

       3)适用条件

         任何思想方法都有一定的局限性,超出了特定条件,它就失去了作用。同样,动态规划也并不是万能的。适用动态规划的问题必须满足最优化原理和无后效性。
         1.最优化原理(最优子结构性质) 最优化原理可这样阐述:一个最优化策略具有这样的性质,不论过去状态和决策如何,对前面的决策所形成的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之,一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
         2.无后效性:将各阶段按照一定的次序排列好之后,对于某个给定的阶段状态,它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策,而只能通过当前的这个状态。换句话说,每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性,又称为无后效性。

         3.子问题的重叠性:动态规划将原来具有指数级复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间的算法。其中的关键在于解决冗余,这是动态规划算法的根本目的。 动态规划实质上是一种以空间换时间的技术,它在实现的过程中,不得不存储产生过程中的各种状态,所以它的空间复杂度要大于其它的算法

 

     例题:著名的货郎担(旅行售货商)问题

                 详细解答参见博文------货郎担(旅行售货商)

 

 

七,回溯

        1)设计思想

              回溯与分支限界技术实际上都是基于穷举方法的,即按照一定规律,把问题所有可能的解组织成某种树结构,形成可能的解空间树或状态空间树。然后按照具体问题的约束条件,通过各种搜索策略,遍历可能的解空间树。从而得到满足问题条件的解或最优解。两种算法设计思路相近、本质一致。

        2)回溯与分支限界法解决实际问题,大致可分为四个环节:

             (1)确定问题的可能解空间,相当于找出进行穷举的搜索范围。

             (2)以一种便于搜索的方式组织所有的可能解,一般是生成可能解空间树

             (3)以某种方式搜索可能的解空间树,有两种基本搜索方式。即:深度优先搜索方式和,这就是回溯技术;广度优先搜索,就是分支限界技术。

             (4)在搜索过程中利用判定函数,也称为限界函数,通过“剪枝”来加速搜索过程

       3)回溯法的设计原理

             按照深度优先搜索的方式,从根结点出发搜索状态空间树。

             •   每搜索到达状态空间树的一个扩展结点,总是先判断以该结点为根的子树是否包含问题的解。如果肯定不包含,则跳过对该结点为根的子树的进一步搜索,该结点成为一个死结点,同时应向上层回溯至最近的一个活动结点。再以该活动结点作为当前新的扩展结点。以这种方式递归地在解空间中搜索,直至找到问题的解,或者解空间中已无活动结点为止,即此问题无解。

             •   在回溯法中,为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状态,要不断地利用限界函数来处死那些实际上不可能产生所需解的活动结点,以减少问题的计算量。所以,回溯法应是具有限界函数的深度优先搜索法。

             用回溯法解题时,常遇到两类典型的解空间树,子集树与排列树。

  

         例题:著名的八皇后问题

                    详细解答参见博文------八皇后问题

 

八,分支限界(求问题在某种意义下的最优解

       1)分支限界法的设计原理

             分支限界法类似于回溯法,也是一种在问题的状态空间树上搜索解的算法。但是,分支限界法与回溯法有不同的求解目标。回溯法的求解目标是找出状态空间树中的所有回答结点或任一回答结点,分支限界法的求解目标则是找出使得某一目标函数达到极小或极大的一个问题结点

       2)分支限界法与回溯法有两点不同:

           1)求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解或最优解

           (2)搜索方式不同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间树,而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。

      3)常见的两种分支限界法

          (1)队列式(FIFO)分支限界法
                  按照队列先进先出(FIFO)原则选取下一个结点为扩展结点。
          (2)优先队列式分支限界法
                  按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的结点成为当前扩展结点。
     4)常见问题

            装箱问题、布线问题、单源最短路径问题、最大团问题、0-1背包问题、旅行售货问题

 

这篇关于【算法复习二】传统基本算法(贪心、动态规划、回溯和分支限界)的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/877381

相关文章

不懂推荐算法也能设计推荐系统

本文以商业化应用推荐为例,告诉我们不懂推荐算法的产品,也能从产品侧出发, 设计出一款不错的推荐系统。 相信很多新手产品,看到算法二字,多是懵圈的。 什么排序算法、最短路径等都是相对传统的算法(注:传统是指科班出身的产品都会接触过)。但对于推荐算法,多数产品对着网上搜到的资源,都会无从下手。特别当某些推荐算法 和 “AI”扯上关系后,更是加大了理解的难度。 但,不了解推荐算法,就无法做推荐系

康拓展开(hash算法中会用到)

康拓展开是一个全排列到一个自然数的双射(也就是某个全排列与某个自然数一一对应) 公式: X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[1]*0! 其中,a[i]为整数,并且0<=a[i]<i,1<=i<=n。(a[i]在不同应用中的含义不同); 典型应用: 计算当前排列在所有由小到大全排列中的顺序,也就是说求当前排列是第

第10章 中断和动态时钟显示

第10章 中断和动态时钟显示 从本章开始,按照书籍的划分,第10章开始就进入保护模式(Protected Mode)部分了,感觉从这里开始难度突然就增加了。 书中介绍了为什么有中断(Interrupt)的设计,中断的几种方式:外部硬件中断、内部中断和软中断。通过中断做了一个会走的时钟和屏幕上输入字符的程序。 我自己理解中断的一些作用: 为了更好的利用处理器的性能。协同快速和慢速设备一起工作

csu 1446 Problem J Modified LCS (扩展欧几里得算法的简单应用)

这是一道扩展欧几里得算法的简单应用题,这题是在湖南多校训练赛中队友ac的一道题,在比赛之后请教了队友,然后自己把它a掉 这也是自己独自做扩展欧几里得算法的题目 题意:把题意转变下就变成了:求d1*x - d2*y = f2 - f1的解,很明显用exgcd来解 下面介绍一下exgcd的一些知识点:求ax + by = c的解 一、首先求ax + by = gcd(a,b)的解 这个

基本知识点

1、c++的输入加上ios::sync_with_stdio(false);  等价于 c的输入,读取速度会加快(但是在字符串的题里面和容易出现问题) 2、lower_bound()和upper_bound() iterator lower_bound( const key_type &key ): 返回一个迭代器,指向键值>= key的第一个元素。 iterator upper_bou

综合安防管理平台LntonAIServer视频监控汇聚抖动检测算法优势

LntonAIServer视频质量诊断功能中的抖动检测是一个专门针对视频稳定性进行分析的功能。抖动通常是指视频帧之间的不必要运动,这种运动可能是由于摄像机的移动、传输中的错误或编解码问题导致的。抖动检测对于确保视频内容的平滑性和观看体验至关重要。 优势 1. 提高图像质量 - 清晰度提升:减少抖动,提高图像的清晰度和细节表现力,使得监控画面更加真实可信。 - 细节增强:在低光条件下,抖

【数据结构】——原来排序算法搞懂这些就行,轻松拿捏

前言:快速排序的实现最重要的是找基准值,下面让我们来了解如何实现找基准值 基准值的注释:在快排的过程中,每一次我们要取一个元素作为枢纽值,以这个数字来将序列划分为两部分。 在此我们采用三数取中法,也就是取左端、中间、右端三个数,然后进行排序,将中间数作为枢纽值。 快速排序实现主框架: //快速排序 void QuickSort(int* arr, int left, int rig

动态规划---打家劫舍

题目: 你是一个专业的小偷,计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金,影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统,如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入,系统会自动报警。 给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组,计算你 不触动警报装置的情况下 ,一夜之内能够偷窃到的最高金额。 思路: 动态规划五部曲: 1.确定dp数组及含义 dp数组是一维数组,dp[i]代表

usaco 1.3 Barn Repair(贪心)

思路:用上M块木板时有 M-1 个间隙。目标是让总间隙最大。将相邻两个有牛的牛棚之间间隔的牛棚数排序,选取最大的M-1个作为间隙,其余地方用木板盖住。 做法: 1.若,板(M) 的数目大于或等于 牛棚中有牛的数目(C),则 目测 给每个牛牛发一个板就为最小的需求~ 2.否则,先对 牛牛们的门牌号排序,然后 用一个数组 blank[ ] 记录两门牌号之间的距离,然后 用数组 an

poj 3974 and hdu 3068 最长回文串的O(n)解法(Manacher算法)

求一段字符串中的最长回文串。 因为数据量比较大,用原来的O(n^2)会爆。 小白上的O(n^2)解法代码:TLE啦~ #include<stdio.h>#include<string.h>const int Maxn = 1000000;char s[Maxn];int main(){char e[] = {"END"};while(scanf("%s", s) != EO