本文主要是介绍特征值和特征向量在现代控制理论的简单应用,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!
参考视频:https://www.bilibili.com/video/BV1fx41137Zm
在线性代数中,对于一个给定的线性变换A,它的特征向量经过这个线性变换的作用之后,得到的新向量仍然与原来的v保持在同一条直线上,但长度或方向也许会改变,即:
A v = λ v Av = \lambda v Av=λv
其中 λ \lambda λ为标量,即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例,称其为特征值。
求解A特征值特征向量的具体步骤查看大学的线性代数。
应用
结论:特征值特征向量的作用是把一个矩阵化成对角矩阵,起到解耦的作用!即存在可逆矩阵P,使:
P − 1 A P = ∧ P^{-1}AP = \wedge P−1AP=∧
现在考虑微分方程组的解法,在现代控制理论中,状态空间方程中是用一系列微分方程组组成的:
在解x向量的微分方程组时,通过x=Py可以进行解耦,把x的方程变成y的方程,由于对角矩阵的存在,可以直接解出y对于t的函数,然后代回x=Py时,可以解出向量x。
这是一个非常重要的应用,很多时候我们并不需要解出这个微分方程,可以通过特征值的符号可以判断系统的稳定性和系统的表现形式。
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