算法 卡特兰Catalan数

2024-04-01 14:48
文章标签 算法 卡特兰 catalan

本文主要是介绍算法 卡特兰Catalan数,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

介绍

Catalan数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。一般项公式为

这里写图片描述

Cn的另一个表达形式为这里写图片描述

一般来说,我们编程时使用递推关系会更方便计算这里写图片描述

这里写图片描述

即:C(n) = C(1)*C(n-1) + C(2)*C(n-2) + … + C(n-1)C(1).

它的前几项为: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796。可以先通过前几项判断问题是否属于卡特兰数。

典型应用

这里有一本书介绍了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。 http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.pdf (英文PDF)

1.矩阵连乘问题
矩阵连乘 P=A1×A2×A3×……×An,依据乘法结合律,不改变其顺序,只用括号表示成对的乘积,试问有几种括号化的方案?

2.子串问题
一个有n个X和n个Y组成的字串,且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

3.括号匹配问题
将上例的X换成左括号,Y换成右括号,Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数(面试题参看算法篇第7题):
((())) ()(()) ()()() (())() (()())

4.多边形问题
将多边形划分为三角形问题。将一个凸多边形区域分成三角形区域(划分线不交叉)的方法数?
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5.相交点问题
在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?
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6.出栈次序问题
一个栈(无穷大)的进栈序列为1、2、3、…、n,有多少个不同的出栈序列?

7.有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?(将持5元者到达视作将5元入栈,持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

8.路径问题
在n*n的格子中,只在下三角行走,每次横或竖走一格,有多少中走法?
这里写图片描述

9.一个有n个1和n个-1组成的字串,且前k个数的和均不小于0,那这种字串的总数为多少?

10.二叉树问题
给顶节点组成二叉树的问题。
给定N个节点,能构成多少种形状不同的二叉树?
(一定是二叉树!先取一个点作为顶点,然后左边依次可以取0至N-1个相对应的,右边是N-1到0个,两两配对相乘,就是h(0)*h(n-1) + h(2)*h(n-2) + …… + h(n-1)h(0)=h(n)) (能构成h(N)个)
这里写图片描述

11.有n+1个叶子的满二叉树的个数?

12.用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数?
这里写图片描述

13 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

这篇关于算法 卡特兰Catalan数的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/867434

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