拉式变换，卷积与传递函数

本文主要是介绍拉式变换，卷积与传递函数，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前言

这里主要想记录一下自己对拉式变换，卷积，以及传递函数的理解。之前上学时在某一门课上曾经想通过，但是后面又想不通了，今天重新学习了一下终于又想通了，所以记录下，方便以后能够找到。

这里记录的都是一些理性认识，不会有太多的公式推导。因为我觉得做工程（而非学术）更多的是了解某个原理是什么工作的，要怎么使用，而不应该花过多时间细究其公式推导，没啥用，因为过段时间又忘了。就算是做学术，如果只是拓展知识面的话，很多东西也是不需要细究的！

注：下面记录的都是个人理解，可能存在不严谨之处，欢迎探讨！

正文

一、传递函数与卷积

传递函数就是描述系统的动态过程，如下图：

图1 传递函数示意图

图1 传递函数时域示意图

上图中各个函数的自变量是时间，是传递函数的时域表达，也是容易被理解的表示方式。其表示的是：对某系统后 $g (t)$ 施加输入 $u (t)$ 之后的响应为 $y (t)$ 。
写成公式是：

$y(t)=\int_{0}^{t}u(t-\tau)*g(\tau)d\tau$ $\quad\quad\quad$ (1)

其中 $g (t)$ 为系统的单位脉冲响应。

上面的公式(1)（也就是卷积公式）是怎么来的呢？

我们以单位脉冲输入为基础，先只考虑单位脉冲响应，因为其余的阶跃和斜坡输入等都可以很容易由此拓展。当系统的输入为单位脉冲时，它的输出就是单位脉冲响应。已知一个任意的输入 $u (t)$ 都可以在每个时刻分解成不同幅值的脉冲信号，根据线性系统的叠加性，这些不同时刻，不同幅值的脉冲信号使该系统产生的响应叠加在一起，就得到了该系统对整体输入信号的响应。
为了方便理解，将上述过程离散化，可以用下图来表示：

图2 时域响应计算示意图

如上图所示：如果想要计算第4T的响应输出 $y (t)$ ，只需要先将输入拆成5个脉冲信号，然后分别计算输出响应，再求和即可。
假设系统动态 $g (t)$ 为对信号幅值的衰减，
$u (t)$ 中第0T的信号，在第4T时产生的响应为 $u (0 T) * g (4 T)$ ;
$u (t)$ 中第1T的信号，在第4T时产生的响应为 $u (1 T) * g (3 T)$ ;
$u (t)$ 中第2T的信号，在第4T时产生的响应为 $u (2 T) * g (2 T)$ ;
$u (t)$ 中第3T的信号，在第4T时产生的响应为 $u (3 T) * g (1 T)$ ;
$u (t)$ 中第4T的信号，在第4T时产生的响应为 $u (4 T) * g (0 T)$ ;