【洛谷 P8636】[蓝桥杯 2016 省 AB] 最大比例 题解（数论+集合+辗转相除法）

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[蓝桥杯 2016 省 AB] 最大比例

题目描述

X 星球的某个大奖赛设了 $M$ 级奖励。每个级别的奖金是一个正整数。

并且，相邻的两个级别间的比例是个固定值。

也就是说：所有级别的奖金数构成了一个等比数列。比如：

$$16,24,36,54$$

其等比值为：$3/2$。

现在，我们随机调查了一些获奖者的奖金数。

请你据此推算可能的最大的等比值。

输入格式

第一行为数字 $N(0<N<100)$，表示接下的一行包含 $N$ 个正整数。

第二行 $N$ 个正整数 $X_i(X_i<10^{12})$，用空格分开。每个整数表示调查到的某人的奖金数额。

输出格式

一个形如 $A/B$ 的分数，要求 $A$、$B$ 互质。表示可能的最大比例系数。

测试数据保证了输入格式正确，并且最大比例是存在的。

样例 #1

样例输入 #1

3
1250 200 32

样例输出 #1

25/4

样例 #2

样例输入 #2

4
3125 32 32 200

样例输出 #2

5/2

样例 #3

样例输入 #3

3
549755813888 524288 2

样例输出 #3

4/1

提示

时限 3 秒, 256M。蓝桥杯 2016 年第七届省赛

蓝桥杯 2016 年省赛 A 组 J 题（B 组 J 题）。

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思路

首先，定义两个全局变量：一个 set 和一个 vector，分别用来存储输入的奖金数额和它们的比例。还定义了两个函数 gcd 和 gcd2，都使用了辗转相除法。

在 main 函数中，首先读取奖金数额的数量，然后读取每个奖金数额，并将其插入到 set 中。由于 set 会自动排序和去重，所以这里可以直接得到排序后的奖金数额。

接着，遍历排序后的奖金数额，计算相邻两个数额的比例，并将结果存入 vector 中。这里使用了 reduce 函数来约分，即使得分数的分子分母互质。

最后，遍历存储比例的 vector，使用 gcd2 函数，计算所有分数的最大公约数。最后的结果就是可能的最大等比值。

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AC代码

#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <set>
#include <vector>
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;
using ll = long long;
using pll = pair<ll, ll>;const int N = 1e6 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const ll MOD = 1e9 + 7;int n;
set<ll> s1;
vector<pll> v1;ll gcd(ll a, ll b) { return (b ? gcd(b, a % b) : a); }pll reduce(pll x) {ll g = gcd(x.first, x.second);return {x.first / g, x.second / g};
}ll gcd2(ll a, ll b) {if (a < b) {swap(a, b);}return ((b == 1) ? a : gcd2(b, a / b));
}int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);cin >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {ll x;cin >> x;s1.insert(x);}auto it1 = s1.begin();auto it2 = it1;for (it2++; it2 != s1.end(); it1++, it2++) {// cout << *it1 << " " << *it2 << endl;v1.push_back(reduce({*it2, *it1}));}pll ans = v1.front();auto it3 = v1.begin() + 1;for (; it3 != v1.end(); it3++) {ans.first = gcd2(ans.first, it3->first);ans.second = gcd2(ans.second, it3->second);}cout << ans.first << "/" << ans.second << "\n";return 0;
}

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