NOJ 1203 最多约数问题 (算数基本定理 DFS +剪枝)

最多约数问题

                                                时间限制(普通/Java) : 20000 MS/ 30000 MS          运行内存限制 : 81920 KByte

题目链接：http://acm.njupt.edu.cn/acmhome/problemdetail.do?&method=showdetail&id=1203

题目分析：数论，算术基本定理的应用，加上各种牛逼的剪枝

本题的要求是，求出一个给定区间内的含约数最多的整数。

首先明确一下如何求一个数的约数个数：若一个数N满足：N = A1 ^N1 * A2 ^N2 * A3 ^N3 * …… * Am ^Nm，则n的约数个数为(N1 + 1) (N2 + 1) (N3 + 1) …… (Nm + 1)。这是可以用乘法原理证明的。

最浅显的算法是，枚举区间内的每个整数，统计它们的约数个数。这个算法很容易实现，但是时间复杂度却相当高。因为题目约定区间的最大宽度可以达到10^9的数量级，相当庞大。因此，在极限规模时，时间是无法忍受的。所以，我们需要尽量的优化时间。

分析一下枚举的过程就会发现，如果我们枚举到两个数n和m*n（m为一相对于n较大的质数），那么我们将重复计算n的约数两次。据此，我们发现了枚举效率低的根本所在。为了解决这一重复，我们可以选取另一种搜索方法——以质因子为对象进行深度搜索。

初始时，令number := 1，然后从最小的质数2开始枚举，枚举包含一个2、两个2……n个2的情况……直至number * 2 ⁿ大于区间的上限（max）。对于每种“2^k的情况”，令number := number * 2 ⁿ，再枚举3的情况，然后，枚举5的情况、7的情况……方法相同。整个过程是一个深度搜索的过程。当number大于等于区间下限（min）时，我们就找到了一个区间内的数，根据前面介绍的方法，可以得到它的约数个数。所有的区间内的数的约数个数的最大值就是我们要求的目标。

     为什么这种深度搜索可以减少常规枚举过程中的重复问题呢？请看下面的一个例子

     设给定的区间为[6,30],6,18,30为区间内的数，按照常规枚举方法，计算18,30，的时候分别计算了因子6的约数个数，重复计算2次。如果使用上述所说的深度搜索方法，求这3个数的因数个数的路径有一条公共部分，2*3，这一部分只计算了一次，求18只需再乘个3，求30只需再乘个5，相对于常规枚举减少了两次计算2*3的时间。但这种深度搜索也有问题，就是number有可能是无用的，下面的分析便是对这种深搜方法进行无用数据剪枝。

    值得注意的是，我们枚举过程中得到的number可能无用的，即无论用number去乘以多少，都无法得到区间内的数。这样的number如果继续枚举下去，无疑会大大降低效率。那么，能否通过简单的判断，将其剪去呢？答案是可以的。很容易证明，如果(min – 1) div number < max div number，则区间内存在可以被number整除的数。因为，如果区间[min, max]内存在可以被number整除的数，也即是从min到max中至少有一个数能被number整除，那么区间[min – 1, max]内的数被number除得的商肯定不止一种，所以(min – 1) div number必然小于max div number。

反过来，如果(min-1)div number=max div number,则[min,max]内不存在可以被number整除的数。

证明如下：

假设[min,max]内存在可以被number整除的数

如果(min-1) div number=max div number,则min div number = max div number，那么①min等于max，且min和max均可以被number整除，或者②max>min,min可以被number整除，①的情况下可推出，(min-1) div nunber<max div number,与条件矛盾，舍去；②的情况下也可以推出(min-1) div number<max div number,舍去。所以结论成立。因此，我们只需枚举符合要求的number；至于不符合的，可以剪去。

此外，我们枚举的质数可能会达到很大。因为给出的整数最大可以达到4,000,000,000，它的质因数自然最大也可以到100,000,000的数量级。如果按上面的方法枚举，显然无法承受时间的压力。但是，我们又可以看到，对于区间内的任一整数，它包含的大于SQRT(4,000,000,000) = 2*31623的质因数最多只可能有一个。因此，我们只需枚举小于2*31623的质数。如果对一个符合要求的number（即，可以证明区间内至少存在一个数可以被number整除），无法找到一个小于2*31623的质数p使得number * p * x ∈ [min, max]（x为一正整数）。那么，可知number需要乘以一个大于31623的质数才能得到number’，使得number’ ∈ [min, max]。根据前面介绍的乘法原理，只需将number包含的约数个数乘以2，即得number’包含的约数个数。

我们还能看到，如果当前搜索状态为(from, number, total)，其中from是指当前枚举到的质因子（按从小到大枚举），total是指number中包含的约数个数。那么剩下的因子数最多为q = [log _from(max / number)]，这些因子组成的约数个数（即上述求约数个数时用到的一串乘积）最大为2 ^q。当前所能取到的（理想情况）最大约数个数就是total * 2 ^q，如果这个数仍然无法超过当前最优解，则这一分支可以剪去。

深度搜索的过程，从表面上看是一个指数级的复杂度。其实不然，更准确的说，复杂度应为O(p ^logn)。因为，它的指数增长速度是随n成对数级增长，本质上说，还是多项式级的算法。而且我们还进行了一些剪枝，由于枚举中的分支多数为非法的，因此通过剪枝可以去掉绝大多数的分支。这样就大大提高了程序的效率。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
int const MAX = 100005;
int prime[MAX];
int ma, cnt, l, r;void get_prime()  
{bool get[MAX];memset(get, true, sizeof(get));get[0] = get[1] = false;for(int i = 2; i <= sqrt(MAX); i++)if (get[i])for(int j = i * i; j <= MAX; j += i)get[j] = false;for(int i = 2; i <= MAX; i++)if(get[i])prime[++cnt] = i;
}void search(int from, int tot, int num, int left, int right)
{ma = tot > ma ? tot : ma;  if((left == right) && (left > num))search(from, tot * 2, num * left, 1, 1);for(int i = from; i <= cnt; i++)    {if (prime[i] >right)   return;else{int j = prime[i], x = left - 1, y = right, n = num, t = tot, m = 1;while(true){m ++;   t += tot;x /= j;y /= j;if (x == y)break;n *= j;search(i + 1, t, n, x + 1, y);}if (tot < (ma / (1 << m)))return;}}
}int main()
{cnt = 0;get_prime();while(scanf("%d %d", &l, &r) != EOF){if((l == 1) && (r == 1))ma = 1;else{ma = 2;search(1, 1, 1, l, r);}printf("%d\n", ma);}
}