BZOJ 2301 [HAOI2011]Problem b (容斥＋莫比乌斯反演＋分块优化 详解)

本文主要是介绍BZOJ 2301 [HAOI2011]Problem b (容斥＋莫比乌斯反演＋分块优化 详解)，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

2301: [HAOI2011]Problem b

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14

HINT

100%的数据满足：1≤n≤50000，1≤a≤b≤50000，1≤c≤d≤50000，1≤k≤50000

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2301

题目分析：首先n就是五万，因此每次即使是O(n)的计算总的下来也是O(n^2)了，因此对于每次操作我们要让时间复杂度小于O(n)，题意很清楚

先将原式变形：

a / k <= x / k <= b / k，c / k <= y / k <= d / k，gcd(x / k, y / k) = 1，令cal(b / k，d / k)为1 <= x / k <= b / k，1 <= y / k <= d / k时取出的满足条件的个数，则根据容斥原理有

ans = cal(b / k，d / k) - cal((a - 1) / k，d / k) - cal((c - 1) / k，b / k) + cal((a - 1) / k，(c - 1) / k)，因为1～a-1和1～c-1都不在我们所求的范围内，又减的时候这段区间减了两次，因此要再加上一个，接下来看cal函数，这里要用到分块求和，如果不做优化，就是直接枚举公约数ans += mob[i] * (l / i) * (r / i)但这样会超时，考虑到不能整除的特性，在很大一段区间内(l / i)和(r / i)的值是相同的，举个简单的例子，l = 10，r  =  11那么可以看出 i从6到10，l / i和r / i的值都是1，因此考虑分块求和，从i开始最长的相等区间长度为min(l / (l / i)，r / (r / i))，这里如果不能理解的话，比如l / (l / i)，设l / i ＝ p，p表示整除时的值，那么l / p就是从i开始整除值为p的个数了

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int const MAX = 50005;
int p[MAX], mob[MAX], sum[MAX];
bool prime[MAX];
int a, b, c, d, k;void Mobius()
{int pnum = 0;memset(prime, true, sizeof(prime));memset(sum, 0, sizeof(sum));mob[1] = 1;sum[1] = 1;for(int i = 2; i < MAX; i++){if(prime[i]){p[pnum ++] = i;mob[i] = -1;}for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++){prime[i * p[j]] = false;if(i % p[j] == 0){mob[i * p[j]] = 0;break;}mob[i * p[j]] = -mob[i];}sum[i] = sum[i - 1] + mob[i];}
}int cal(int l, int r)
{if(l > r)swap(l, r);int ans = 0;for(int i = 1, last = 0; i <= l; i = last + 1){last = min(l / (l / i), r / (r / i));ans += (l / i) * (r / i) * (sum[last] - sum[i - 1]);}return ans;
}int main()
{Mobius();int n;scanf("%d", &n);while(n --){scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &k);int ans = 0;ans += cal(b / k, d / k);ans -= cal((a - 1) / k, d / k);ans -= cal((c - 1) / k, b / k);ans += cal((a - 1) / k, (c - 1) / k);printf("%d\n", ans);   }
}

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