洛谷P1447 - [NOI2010]能量采集

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Description

给出\(n,m(n,m\leq10^5)，\)计算\[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (2gcd(i,j)-1)\]

Solution

简单起见我们来钦定\(n\leq m\)，然后计算\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j)\)。
\[ans = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m gcd(i,j) = \sum_{d=1}^n d\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d]\]根据洛谷P2522，变换为
\[ ans = \sum_{d=1}^n d \sum_{k=1}^{⌊\frac{n}{d}⌋} \mu(k)⌊\frac{n}{kd}⌋⌊\frac{m}{kd}⌋ \]然后我们就可以计算了。

时间复杂度\(O(n\sqrt n)\)。

Code

//[NOI2010]能量采集
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using std::min; using std::swap;
typedef long long lint;
int const N=1e5+10;
int n,m;
int mu[N],pre[N];
int cntP,pr[N]; bool notP[N];
void init(int n)
{mu[1]=1;for(lint i=2;i<=n;i++){if(!notP[i]) pr[++cntP]=i,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=cntP;j++){lint x=pr[j]*i; if(x>n) break;notP[x]=true;if(i%pr[j]) mu[x]=-mu[i]; else {mu[x]=0; break;}}}for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=pre[i-1]+mu[i];
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m); if(n>m) swap(n,m);init(m);lint ans=0;for(int g=1;g<=n;g++){int n0=n/g,m0=m/g; lint res=0;for(int L=1,R;L<=n0;L=R+1){int v1=n0/L,v2=m0/L; R=min(n0/v1,m0/v2);res+=1LL*v1*v2*(pre[R]-pre[L-1]);}ans+=res*g;}printf("%lld\n",ans*2-1LL*n*m);return 0;
}