在120枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况下，能不能只比较5次就检测出这枚假币？

能

这道题目我想先通过另外一道题目引入我的方法：

在13枚外观相同的硬币中，有一枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相比较轻还是较重。可以通过一架天平来任意比较两组硬币，最坏情况下，能不能只比较3次就检测出这枚假币？

将13枚硬币分为三组

ABCD  EFGH  IJKLM

这里引入一个概念，每次天平倾斜方向称之为X方向、Y方向、和平衡

X方向不一定就是向左倾斜，只不过和Y方向是相对的。我们可以定义任意一种倾斜方向为X方向

（注：当文中所说M和N进行比较时,默认前一个放X位，后一个放在Y位，即M在X位，N在Y位）

将ABCD和EFGH进行比较：

得到三种情况：L位倾斜、R位倾斜和平衡

假设平衡，则比较IA和JK，如果还是平衡则比较L和A可以得到是L还是M的问题，如果不平衡则记录倾斜方向，假设为X方向倾斜，最后比较J和K，如果第三次和第二次一样位X方向倾斜，则假币没有变换方向为K反之为J，平衡则为I

但是最坏情况下应该是第一次使用天平就发生倾斜，假设为X位倾斜则第二次比较ABE和CDF，如果平衡则在GH中，略。如果不平衡，则要则要看第二次使用天平是否和第一次一样是X方向倾斜，如果还是X方向倾斜则假币没有变换方向，假币在ABF中，反之在CDE中，假设第一次第二次都是X方向倾斜，则假币没有变换方向那么假币一定在ABE中，如果变换方向为Y方向倾斜则假币在过程中调换方向假币在CDE中。

假设假币在ABF中，那么第三次我们比较A和B，还是X方向倾斜则假币三次都没有变换方向所以假币为A，反之假币为B，平衡则为F，同理。

通过这道题，我思考了一个概念，N次使用天平最多能找到多少个硬币中的假币呢？

每一次进行比较我们都有三中状态，X方向倾斜、Y方向倾斜、和平衡

那上题中3次使用天平我们就可以得到  =27种不同的结果，这时我想到XYX和YXY方向倾斜其实本质上是一样的，因为我们由于假币重量是重还是轻是未知的，所以只能判断第一次使用天平和第二次方向是相同还是相反的，所以这个结果需要除以2,但是有一种情况例外：即三次都为平衡状态，所以我们要先在总的情况下-1

所以，我们最终会得到 （-1）/2 = 13 种情况，也就是说最终我们会获得13种不同的情况，也就是在13个硬币下使用三次天平找到假币。

同理5次使用天平最多在（-1）/2 = 121种情况，也就是最多在121枚硬币中使用五次天平找到假币

推广到N次，则N次最多在（-1）/2 个硬币中找到假币

对于本题具体的实践过程比较复杂，将三维推广到五维更加难写，欢迎大家能够整理出具体过程并在评论区附上链接。

2022.10.18于山东工商学院西校区5257