图文证明 洛必达法则

洛必达法则

洛必达法则:
如果在极限计算中遇到$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$的形式，可以使用该法则进行简化。

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

其中，$f^{\prime }(x)$和$g^{\prime }(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的导数。

可见,洛必达法则的核心功能就是,大大简化了极限运算。

• 为什么洛必达法则对于$\frac{0}{0}$型和$\frac{\infty }{\infty }$型
  生效？
• 洛必达法则对于别的类型是否生效？

引入切线

斜率的概念;
a 点的斜率可以表示为:
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

由图可以看出,B靠近a点时候的变化
割线的极限即是切线

构建关键函数

令函数:$$u(x)=u(g(x),f(x))$$
根据切线的表示方法g(x) 为 x,f(x) 为 y,可以得a处的斜率为:
$$u^{\prime }(a)=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}$$
对上下同时除 x-a:
$$u^{\prime }(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \frac{x-a}{g(x)-g(a)}$$
我们将前后分开看,还是根据斜率表达式可得:
$$u^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)\cdot \frac{1}{g^{\prime }(a)}$$
所以得出一点的斜率为:
$$u^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

对于函数u(x)上任意一点和原点的连线 $l$ 的斜率:

$$l^{\prime }(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$$
我们要证明这个:
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$
现在已经有了$\frac{f(x)}{g(x)}$ 和 $\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$的两个式子了

证明 为什么洛必达法则对于$\frac{0}{0}$型生效？

$\frac{f(x)}{g(x)}$是原点线的斜率
$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$是某点处的斜率

B,C两点是来确定切线的就如同上面引入的切线公式一样
B,C两点确定的切线就是$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$是某点处的斜率
黑色的函数是 $\frac{f(x)}{g(x)}$是原点线的斜率
根据这个动图我们可以看出,在过原点的时候,两条线直接重合,而接近原点时其实就是f(x),g(x)趋近0时
所以有当上下都趋于0时有:
$\frac{0}{0}$的形式，可以使用该法则进行简化。
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

证明 为什么洛必达法则对于$\frac{\infty }{\infty }$型生效？

在欧式几何中，两条线的斜率要相等，只有两种情况，重合或者平行。
这就是$\frac{\infty }{\infty }$型为什么适用于洛必达法则的原因，我们来一起推导一下。
前面证明$\frac{0}{0}$型,就是因为趋向于0时发生了重合斜率相等

而$\frac{\infty }{\infty }$型要证明洛必达,也要证明趋向于$\infty$时两条线的斜率要相等
首先有一个有趋向于$\infty$的函数$x^2$

和$\frac{0}{0}$型一样的图像证明
B,C两点是来确定切线的就如同上面引入的切线公式一样
B,C两点确定的切线就是$\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$是某点处的斜率
黑色的函数是 $\frac{f(x)}{g(x)}$是原点线的斜率
根据这个动图我们可以看出,在趋向于$\infty$的时候,两条线平行,而接近$\infty$时其实就是f(x),g(x)趋近$\infty$时
所以有当上下都趋于$\infty$时有:
$\frac{\infty }{\infty }$的形式，可以使用该法则进行简化。
$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

洛必达法则对于别的类型是否生效？

根据上面的证明过程可以发现
只要原点线和割线斜率相等，就可以运用洛必达法则

参考文章

【洛必达法则】的动画证明+深入理解