洛谷 P2052 [NOI2011] 道路修建 做题反思（2024.3.11）

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[NOI2011] 道路修建

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题目描述

在 W 星球上有 $n$ 个国家。为了各自国家的经济发展，他们决定在各个国家之间建设双向道路使得国家之间连通。但是每个国家的国王都很吝啬，他们只愿意修建恰好 $n-1$ 条双向道路。

每条道路的修建都要付出一定的费用，这个费用等于道路长度乘以道路两端 的国家个数之差的绝对值。例如，在下图中，虚线所示道路两端分别有 $2$ 个、$4$ 个国家，如果该道路长度为 $1$，则费用为 $1\times |2-4|=2$。图中圆圈里的数字表示国家的编号。

由于国家的数量十分庞大，道路的建造方案有很多种，同时每种方案的修建费用难以用人工计算，国王们决定找人设计一个软件，对于给定的建造方案，计算出所需要的费用。请你帮助国王们设计一个这样的软件。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $n$，表示 W 星球上的国家的数量，国家从 $1$ 到 $n$ 编号。

接下来 $n–1$ 行描述道路建设情况，其中第 $i$ 行包含三个整数 $a_i,b_i$ 和 $c_i$，表示第 $i$ 条双向道路修建在 $a_i$ 与 $b_i$ 两个国家之间，长度为 $c_i$。

输出格式

输出一个整数，表示修建所有道路所需要的总费用。

样例 #1

样例输入 #1

6
1 2 1
1 3 1
1 4 2
6 3 1
5 2 1

样例输出 #1

20

提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le a_i,b_i\le n$，$0\le c_i\le 10^6$，$2\le n\le 10^6$。

测试点编号	$n=$
$1$	$2$
$2$	$10$
$3$	$100$
$4$	$200$
$5$	$500$
$6$	$600$
$7$	$800$
$8$	$1000$
$9$	$10^4$
$10$	$2\times 10^4$
$11$	$5\times 10^4$
$12$	$6\times 10^4$
$13$	$8\times 10^4$
$14$	$10^5$
$15$	$6\times 10^5$
$16$	$7\times 10^5$
$17$	$8\times 10^5$
$18$	$9\times 10^5$
$19,20$	$10^6$

本题思路：
本题关键是需要建立一个状态转移方程，其他的直接用模板套。
设$size[i]$是节点$i$和子树节点的个数
首先，用$n-size[i]$和$size[i]$分别计算出路径两边的节点个数
然后列状态转移方程：$ans=w\ast (n-size[i]-size[i])=w\ast (n-2\ast size[i])$。
以下是该题代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
ll n, ans;
ll s[N];//这是设的节点“i”和它的子树的节点个数
ll e[2 * N], ne[2 * N], w[2 * N], h[N], idx;
void add(ll a, ll b, ll c) {//这里是建立邻接链表的模板，不做解释e[++idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx;
}
void dfs(int now, int fa) {s[now] = 1;//初始化包含它自己这个节点for (int i = h[now]; i; i = ne[i]) {int j = e[i];if (fa == j)continue;dfs(j, now);s[now] += s[j];//更新节点的个数ans += abs(n - s[j] * 2) * w[i];//利用树形dp状态转移方程计算总共需要花的费用}
}
int main() {scanf("%lld", &n);for (int i = 1; i < n; i++) {ll a, b, c;scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &c);add(a, b, c);add(b, a, c);}dfs(1, 0);//设“1”为它的初始节点，“0”为它的父节点printf("%lld", ans);return 0;
}

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