概率论与数理统计 P6 条件概率

2024-03-10 15:44

本文主要是介绍概率论与数理统计 P6 条件概率,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

文章目录

  • P6 条件概率
    • 一.条件概率
    • 二.乘法定理
    • 三.全概率公式 & 贝叶斯公式
      • 3.1 全概率公式(由因求果)
      • 3.2 贝叶斯公式(由果导因)

P6 条件概率

一.条件概率

1.Def:设A、B是两个事件,且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0,称
P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)} P(BA)=P(A)P(AB)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率

注意:这里样本空间已经从 S 坍塌到 A 了,样本空间减小。 \color{red}{注意:这里样本空间已经从S坍塌到A了,样本空间减小。} 注意:这里样本空间已经从S坍塌到A了,样本空间减小。

2.条件概率满足条件(也是概率)

已知事件A发生且P(A)>0

  • 非负性:对于每一件事件B,有 P ( B ∣ A ) ⩾ 0 P(B|A)\geqslant0 P(BA)0

  • 规范性:对于必然事件S,有 P ( S ∣ A ) = 1 P(S|A)=1 P(SA)=1

  • 可列可加性:设 B 1 , B 2 , … B_1,B_2,… B1,B2,是两两互不相容事件,则有

P ( ⋃ i = 1 ∞ B i ∣ A ) = ∑ i = 1 ∞ P ( B i ∣ A ) P(\quad\bigcup\limits_{i=1}^∞B_i|A\quad) =\sum\limits_{i=1}^∞P(B_i|A) P(i=1BiA)=i=1P(BiA)

3.条件概率的性质:当P(A)> 0时

  • P ( B ∣ A ) ⩾ 0 P(B|A)\geqslant 0 P(BA)0
  • 有限可加性: P ( ⋃ i = 1 n B i ∣ A ) = ∑ i = 1 n P ( B i ∣ A ) P(\quad\bigcup\limits_{i=1}^nB_i|A\quad) =\sum\limits_{i=1}^nP(B_i|A) P(i=1nBiA)=i=1nP(BiA)
  • P ( S ∣ A ) = 0 , P ( ∅ ∣ A ) = 0 P(S|A)=0,P(∅|A)=0 P(SA)=0,P(∅∣A)=0
  • 加法公式: P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) − P ( B C ∣ A ) P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A) P(BCA)=P(BA)+P(CA)P(BCA)
  • 当B、C互不相容时, P ( B ∪ C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) + P ( C ∣ A ) P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A) P(BCA)=P(BA)+P(CA)
  • 可减性: P ( B − C ∣ A ) = P ( B ∣ A ) − P ( B C ∣ A ) P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A) P(BCA)=P(BA)P(BCA)
  • P ( B ˉ ∣ A ) = 1 − P ( B ∣ A ) P(\bar{B}|A)=1-P(B|A) P(BˉA)=1P(BA)

二.乘法定理

1.Def:设P(A)> 0,P(B)> 0 ,则有
P ( A B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B) P(AB)=P(BA)P(A)=P(AB)P(B)
称为乘法公式。

2.推广

  • 三个事件A、B、C,且P(AB)> 0[ P ( A ) ⩾ P ( A B ) > 0 P(A)\geqslant P(AB) > 0 P(A)P(AB)>0].

P ( A B C ) = P ( C ∣ A B ) P ( B ∣ A ) P ( A ) P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A)

  • n( n ⩾ 2 n\geqslant2 n2)个事件 A 1 , A 2 , … A n A_1,A_2,…A_n A1,A2,An,且 P ( A 1 A 2 … A n − 1 ) > 0 P(A_1A_2…A_{n-1}) > 0 P(A1A2An1)>0,则有

P ( A 1 A 2 … A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 2 A 1 ) … P ( A n ∣ A n − 1 … A 2 A 1 ) P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_2A_1)…P(A_n|A_{n-1}…A_2A_1) P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A2A1)P(AnAn1A2A1)

  • 注意事件发生的先后次序, A i A_i Ai先于 A i + 1 A_{i+1} Ai+1​发生,可用上式。

三.全概率公式 & 贝叶斯公式

3.1 全概率公式(由因求果)

1.样本空间划分:设S为试验E的样本空间, B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,…,B_n B1,B2,,Bn为E的一组事件,若

  • B i B j = B_iB_j= BiBj=∅, i ≠ j , i , j = 1 , 2 , … , n i ≠ j, i,j=1,2,…,n i=j,i,j=1,2,,n
  • B 1 ∪ B 2 ∪ … ∪ B n = S B_1∪B_2∪…∪B_n=S B1B2Bn=S

则称 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,…,B_n B1,B2,,Bn为样本空间S的一个划分(也叫完备事件集)。

注意 : \color{red}{注意:} 注意:①若 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,…,B_n B1,B2,,Bn为样本空间S的一个划分,则对每次试验,事件 B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,…,B_n B1,B2,,Bn中必有一个且仅有一个发生。

​ ②样本空间的划分一般不唯一。

2.全概率公式:设试验E的样本空间为S,A为E的事件, B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,…,B_n B1,B2,,Bn为S的一个划分,且 P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) P(B_i)>0(i=1,2,…,n) P(Bi)>0(i=1,2,,n),则
P ( A ) = P ( A ∣ B 1 ) P ( B 1 ) + P ( A ∣ B 2 ) P ( B 2 ) + … + P ( A ∣ B n ) P ( B n ) = ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(A)=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+…+P(A|B_n)P(B_n)=\sum_{i=1}^nP(A|B_i)P(B_i) P(A)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)++P(ABn)P(Bn)=i=1nP(ABi)P(Bi)

3.2 贝叶斯公式(由果导因)

1.Def:设试验E的样本空间为S。A为E的事件, B 1 , B 2 , … , B n B_1,B_2,…,B_n B1,B2,,Bn为S的一组划分,且P(A)> 0, P ( B i ) > 0 ( i = 1 , 2 , … , n ) P(B_i)>0(i=1,2,…,n) P(Bi)>0(i=1,2,,n),则
P ( B i ∣ A ) = P ( A ∣ B i ) P ( B i ) ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P(B_i|A)=\dfrac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} P(BiA)=i=1nP(ABi)P(Bi)P(ABi)P(Bi)
称为贝叶斯公式。

2.全概率 & 贝叶斯

取n=2,并将 B 1 B_1 B1记为 B B B B 2 B_2 B2记为$ \bar{B}$,则全概率公式和贝叶斯公式可以写成:
P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ˉ ) P ( B ˉ ) ——全概率公式 P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})——全概率公式 P(A)=P(AB)P(B)+P(ABˉ)P(Bˉ)——全概率公式

P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = P ( A ∣ B ) P ( B ) P ( A ∣ B ) P ( B ) + P ( A ∣ B ˉ ) P ( B ˉ ) ——贝叶斯公式 P(B|A)=\dfrac{P(AB)}{P(A)}=\dfrac{P(A|B)P(B)}{P(A|B)P(B)+P(A|\bar{B})P(\bar{B})}——贝叶斯公式 P(BA)=P(A)P(AB)=P(AB)P(B)+P(ABˉ)P(Bˉ)P(AB)P(B)——贝叶斯公式

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