最短路径-Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

2024-03-08 12:48

本文主要是介绍最短路径-Dijkstra(迪杰斯特拉)算法,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

  • 最短路径-Dijkstra(迪杰斯特拉)算法


  • 网图的最短路:

最短路径,是指两顶点之间经过的边上权值之和最小的路径,并且我们称路径的第一个顶点是源点,最后一个顶点是终点

  • Dijkstra(迪杰斯特拉)算法:

概况:

按路径长度递增的次序产生的最短路径算法,通过一步步计算出路径之间顶点的最短路径,在此过程中都是基于已经求出的最短路径基础上,求得更远顶点的最短路径

思想:

当前已经求得的最短路径边集为{MT}当前最短路终点与相连点(不在MT中)的距离(与起点距离)集合为{WP}

每次都在WP中取与当前终点最近的一个点,将最短边L加入最短路径集{MT},记此时新的终点为NewEnd

扫描不在最短路径中的所有点,如果 NewEnd+L<Dis(表示起点到当前扫描点的距离),更新最短路

相似算法:

在最小生成树上用过类似思想,只不过最小生成树要求全部点都要连通

留个传送门:最小生成树-Prim(普里姆)算法

图解:

两个工具:

a.Path[MAX_SIZE]:记录路径,Path[i]是i的前驱,路径方向  Path[i] -> i

b.Short_Path[MAX_SIZE]:Short_Path[i] 表示 从起点Start(不一定是0或者1)到 i 的最短路径大小

以下图为栗,v0为起点

 

首先记录下v0到相连点的距离(明显是v1和v2),进行初始化,此时:

Path:{ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } --- 初始化0

Short_Path:{ 0 1 5 65535 65535 65535 65535 65535 65535 } --- v0与v1距离为1,v0与v2距离为5

选出最短Short_Path 中的最短距,v1成为新的最短路终点,如下图,此时v1与v2,v3,v4相连

所有v0-v3=1+7=8 .......,可得(扫描更新后):

Path:{ 0 0 1 1 1 0 0 0 0 } 

Short_Path:{ 0 1 4 8 6 65535 65535 65535 65535

 一样,选出Short_Path中此时没有加入最短路顶点的最短路(红色),也就是4,得到 v0-v1-v2 ,v2为最短路新顶点

继续更新最短路,加入v4,v5,很明显,v0-v1-v4=6,而v0-v2-v4=5,路径更新为后者

Path:{ 0 0 1 1 2 2 0 0 0 } 

Short_Path:{ 0 1 4 8 5 11 65535 65535 65535

此时没有加入最短路的最小路径为5,也就是v4作为新终点

按之前步骤继续往下走,直到v8:

Path:{ 0 0 1 4 2 4 3 6 7 } 

Short_Path:{ 0 1 4 7 5 8 10 12 16 } 

如下图,得到最短路径:v0-v1-v2-v4-v3-v6-v7-v8,最短路长度为16

 Short_Path的利用:

Short_Path 显然是每一次最短路径的延申,所以求得Start-End的最短路,同理,Start到任意点的最短路都可以在Short_Path 中查得

算法复杂度:

             O(n^2)

  • Dijkstra模板:

#include <iostream>
#include<memory.h>
using namespace std;
#define MAX_SIZE 1024
#define INF 65535//邻接图
struct MGrapth
{int Vexs[MAX_SIZE];  //顶点表int Arc[MAX_SIZE][MAX_SIZE];  //邻接矩阵int Num_Vertext,Num_Edges;  //顶点数,边数
};
MGrapth Map;int Path[MAX_SIZE];   /*表示路径 Path[i]->i*/
int Short_Path[MAX_SIZE]; /*Start->i 的最短路径和*/
bool Vis[MAX_SIZE];   /*当前最短路径结点true*/
int Res;  /*最短路*/void Init(int n,int m)
{Res=0;memset(Vis,0,sizeof(Vis));memset(Path,0,sizeof(Path));for(int i=0;i<=n;i++)for(int j=0;j<=m;j++)Map.Arc[i][j]=INF;Map.Num_Vertext=n;Map.Num_Edges=m;
}void Dijkstra(int Start)
{int v,w,k,Min;for(v=0;v<Map.Num_Vertext;v++)Short_Path[v]=Map.Arc[Start][v];  /*Start到相连结点的距离*/Short_Path[Start]=0;   /*Start->Start 的距离为0*/Vis[Start]=1;   /*Start为当前最短路径结点*/for(v=1;v<Map.Num_Vertext;v++){Min=INF;for(w=0;w<Map.Num_Vertext;w++){if(!Vis[w]&&Short_Path[w]<Min){k=w;Min=Short_Path[w];}}Vis[k]=true; /*找出最短路到散点的最小值,将该散点连入最短路*/for(w=0;w<Map.Num_Vertext;w++)  /*更新最短路*/{if(!Vis[w]&&Min+Map.Arc[k][w]<Short_Path[w])  /*图中某点到v0的距离比当前路短,更新*/{Short_Path[w]=Min+Map.Arc[k][w];Path[w]=k;}}}
}

 

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http://www.chinasem.cn/article/787133

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