Leetcoder Day37| 动态规划part04 背包问题

2024-03-04 07:28

本文主要是介绍Leetcoder Day37| 动态规划part04 背包问题,希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

01背包理论基础

面试掌握01背包,完全背包和重背包就够用了。

背包问题的理论基础重中之重是01背包,一定要理解透!

01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是o(2^n),这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!

举例:背包最大重量为4。

物品为:

重量价值
物品0115
物品1320
物品2430

问背包能背的物品最大价值是多少?

以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。

二维数组01背包

依然动规五部曲分析一波。

1. 确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少要时刻记着这个dp数组的含义,下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的。

2.  确定递推公式

有两个方向可以推出来dp[i][j],

  • 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量或背包剩余重量小于i的重量时,物品i无法放进背包中,所以背包内的价值依然和前面相同。)
  • 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值。

所以dp[i][j]= max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])

3. dp数组如何初始化

关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱

首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。i是由i-1推出来的,所以i为0的时候就一定要初始化。刚才讨论过j=0的情况,那么i=0时,dp[0][j],即:存放编号0的物品时,各个容量的背包所能存放的最大价值。因此 j < weight[0]时,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。若j>=weight[0],dp[0][j]的值为value[0]。

dp[0][j] 和 dp[i][0] 初始化以后,其他位置都会从i-1或者j-weight[i]而来,因此都会被不断地覆盖,所以初始化为0即可。

4. 确定遍历顺序

在如下图中,可以看出,有两个遍历的维度:物品与背包重量,从哪个方向遍历都可以,因此我们就从物品开始遍历。

public static void backValue(int[]value, int[] weight, int bagWeight){int num=value.length;int[][]dp=new int[num][bagWeight+1];for(int j=weight[0];j<bagWeight;j++){dp[0][j]=value[0];}for(int i=1;i<num;i++){//从物品开始遍历for(int j=1;j<=bagWeight;j++){if(j<weight[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];else{dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);}}}System.out.println(dp[num-1][bagWeight]);}   

一维数组01背包

上面的思路是用二维数组来解决01背包问题,还可以用滚动数组来解决,即把二维dp降维。

在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);

与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。

因此,动规五部曲分析如下:

1. 确定dp数组的定义

在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2. 一维dp数组的递推公式

dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值,那么如何推导dp[j]呢?

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来,dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。(也就是容量为j的背包,放入物品i了之后的价值即:dp[j])

此时dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i,一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值。

所以递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3. 一维dp数组如何初始化

dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

那么dp数组除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?

看一下递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。

这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖了

那么我假设物品价值都是大于0的,所以dp数组初始化的时候,都初始为0就可以了。

4. 一维dp数组遍历顺序

二维dp遍历的时候,背包容量是从小到大,而一维dp遍历的时候,背包是从大到小。

因为倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!

举一个例子:物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15

如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了,意味着物品0,被放入了两次,所以不能正序遍历。

为什么倒序遍历,就可以保证物品只放入一次呢?

倒序就是先算dp[2]

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 (dp数组已经都初始化为0)

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

所以从后往前循环,每次取得状态不会和之前取得状态重合,这样每种物品就只取一次了。

为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢?

因为对于二维dp,dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来,本层的dp[i][j]并不会被覆盖!

先遍历物品嵌套遍历背包容量,那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢?不可以!

因为一维dp的写法,背包容量一定是要倒序遍历(原因上面已经讲了),如果遍历背包容量放在上一层,那么每个dp[j]就只会放入一个物品,即:背包里只放入了一个物品。

倒序遍历的原因是,本质上还是一个对二维数组的遍历,并且右下角的值依赖上一层左上角的值,因此需要保证左边的值仍然是上一层的,从右向左覆盖。

⚠️一维和二维的区别:(1)一维到序遍历,二维正序遍历(2)一维只能先遍历物品再遍历背包,但是二维两个顺序都可。

public static void getBackValue(int[]value, int[] weight, int bagWeight){int num=value.length;int[]dp=new int[bagWeight+1];for(int j=weight[0];j<bagWeight;j++){dp[j]=value[0];}for(int i=1;i<num;i++){//从物品开始遍历for(int j=bagWeight;j>=weight[i];j--){//要倒序遍历dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-weight[i]]+value[i]);}}System.out.println(dp[bagWeight]);}   

416. 分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200

示例 1:

  • 输入: [1, 5, 11, 5]
  • 输出: true
  • 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].

示例 2:

  • 输入: [1, 2, 3, 5]
  • 输出: false
  • 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

提示:

  • 1 <= nums.length <= 200
  • 1 <= nums[i] <= 100

这道题希望能够将一个数组拆成两个子集a和b,使得a里面的元素和等于b里面的元素和。

没有什么思路,直接看了代码随想录。原来是01背包问题的变种。

01背包问题:有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

注意题目描述中商品是不是可以重复放入。一个商品如果可以重复多次放入是完全背包,而只能放入一次是01背包。

要明确本题中我们要使用的是01背包,因为元素我们只能用一次。

回归主题:首先,本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。(这一点是我没有想到的)

那么来一一对应一下本题,看看背包问题如何来解决。

只有确定了如下四点,才能把01背包问题套到本题上来:

  • 背包的可容纳的重量为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为元素的数值,价值也为元素的数值
  • 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入

dp[j]表示:背包总容量是j,放进物品后,背包的最大价值为dp[j]

那么如果背包需要满足的容量为target,当dp[target]==target时,背包就装满了

class Solution {/**背包的可容纳的重量为sum / 2背包要放入的商品(集合里的元素)重量为元素的数值,价值也为元素的数值背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。背包中每一个元素是不可重复放入*/public boolean canPartition(int[] nums) {int sum=0;for(int i=0;i<nums.length;i++){sum+=nums[i];}if(sum%2==1) return false;int target=sum/2;//weight[i]和value[i]都是nums[i],当前的bacWeight为targetint[] dp=new int[target+1];for(int j=nums[0];j<target;j++){dp[j]=nums[0];}for(int i=1;i<nums.length;i++){ //先遍历物品for(int j=target;j>=nums[i];j--){//重量要倒序遍历dp[j]=Math.max(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}if(dp[target]==target) return true;return false;}
}

这篇关于Leetcoder Day37| 动态规划part04 背包问题的文章就介绍到这儿,希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助!



http://www.chinasem.cn/article/772422

相关文章

好题——hdu2522(小数问题:求1/n的第一个循环节)

好喜欢这题,第一次做小数问题,一开始真心没思路,然后参考了网上的一些资料。 知识点***********************************无限不循环小数即无理数,不能写作两整数之比*****************************(一开始没想到,小学没学好) 此题1/n肯定是一个有限循环小数,了解这些后就能做此题了。 按照除法的机制,用一个函数表示出来就可以了,代码如下

hdu1043(八数码问题,广搜 + hash(实现状态压缩) )

利用康拓展开将一个排列映射成一个自然数,然后就变成了普通的广搜题。 #include<iostream>#include<algorithm>#include<string>#include<stack>#include<queue>#include<map>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<ctype.h>#inclu

第10章 中断和动态时钟显示

第10章 中断和动态时钟显示 从本章开始,按照书籍的划分,第10章开始就进入保护模式(Protected Mode)部分了,感觉从这里开始难度突然就增加了。 书中介绍了为什么有中断(Interrupt)的设计,中断的几种方式:外部硬件中断、内部中断和软中断。通过中断做了一个会走的时钟和屏幕上输入字符的程序。 我自己理解中断的一些作用: 为了更好的利用处理器的性能。协同快速和慢速设备一起工作

poj2576(二维背包)

题意:n个人分成两组,两组人数只差小于1 , 并且体重只差最小 对于人数要求恰好装满,对于体重要求尽量多,一开始没做出来,看了下解题,按照自己的感觉写,然后a了 状态转移方程:dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i-1][j-c[k]]+c[k]);其中i表示人数,j表示背包容量,k表示输入的体重的 代码如下: #include<iostream>#include<

hdu2159(二维背包)

这是我的第一道二维背包题,没想到自己一下子就A了,但是代码写的比较乱,下面的代码是我有重新修改的 状态转移:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-c[z]]+v[z]); 其中dp[i][j]表示,打了i个怪物,消耗j的耐力值,所得到的最大经验值 代码如下: #include<iostream>#include<algorithm>#include<

csu(背包的变形题)

题目链接 这是一道背包的变形题目。好题呀 题意:给n个怪物,m个人,每个人的魔法消耗和魔法伤害不同,求打死所有怪物所需的魔法 #include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<stack>#include<queue>#include<set>//#include<u>#include<map

hdu1011(背包树形DP)

没有完全理解这题, m个人,攻打一个map,map的入口是1,在攻打某个结点之前要先攻打其他一个结点 dp[i][j]表示m个人攻打以第i个结点为根节点的子树得到的最优解 状态转移dp[i][ j ] = max(dp[i][j], dp[i][k]+dp[t][j-k]),其中t是i结点的子节点 代码如下: #include<iostream>#include<algorithm

hdu1171(母函数或多重背包)

题意:把物品分成两份,使得价值最接近 可以用背包,或者是母函数来解,母函数(1 + x^v+x^2v+.....+x^num*v)(1 + x^v+x^2v+.....+x^num*v)(1 + x^v+x^2v+.....+x^num*v) 其中指数为价值,每一项的数目为(该物品数+1)个 代码如下: #include<iostream>#include<algorithm>

动态规划---打家劫舍

题目: 你是一个专业的小偷,计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金,影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统,如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入,系统会自动报警。 给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组,计算你 不触动警报装置的情况下 ,一夜之内能够偷窃到的最高金额。 思路: 动态规划五部曲: 1.确定dp数组及含义 dp数组是一维数组,dp[i]代表

购买磨轮平衡机时应该注意什么问题和技巧

在购买磨轮平衡机时,您应该注意以下几个关键点: 平衡精度 平衡精度是衡量平衡机性能的核心指标,直接影响到不平衡量的检测与校准的准确性,从而决定磨轮的振动和噪声水平。高精度的平衡机能显著减少振动和噪声,提高磨削加工的精度。 转速范围 宽广的转速范围意味着平衡机能够处理更多种类的磨轮,适应不同的工作条件和规格要求。 振动监测能力 振动监测能力是评估平衡机性能的重要因素。通过传感器实时监