考研数学——高数：不定积分

2024-03-02 14:28

文章标签 考研数学高数不定积分

本文主要是介绍考研数学——高数：不定积分，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

一、换元定积分法

①第一类换元法

定理1

若 $\int f(u)du = F(u)+C$

则 $\int f[\varphi (x)]\varphi '(x)dx = \int F[\varphi(x)] + C$

这个方法也叫凑微分法，实际运用中是将被积函数的一部分拿到d的后面（相当于对部分求积分）然后将d之后的部分看成一个整体，再对原函数积分，起到化简的效果

例题（求下列不定积分）

$(1)\int xe^{x^2}dx$ $(2)\int (1+3x)^{100}dx$

$(3)\int \frac{dx}{a^2+x^2}$ $(4)\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$ $(5)\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$

$(6)\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2-2x}}$ $(7)\int tanxdx$ $(8)\int cos^2xdx$ $(9)\int cos^3xdx$

$(10)\int \frac{dx}{x\sqrt{1+lnx}}$ $(11)\int \frac{dx}{\sqrt{x}(1+x)}$ $(12)\int \frac{arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1-x)}dx$

②第二类换元法

定理2

设单调可导的函数 $x = \varphi (t)$ ，且 $\varphi '(t)\neq 0$

$\int f[\varphi (t)]\varphi '(t)dt = F(t)+C$ ，

则 $\int f(x)dx = \int f[\varphi (t)]\varphi '(t)dt - F(t)+C = F[\varphi ^{-1}(x)]+C$

原则是换成关于t的积分比较容易求出来

例题（求下列不定积分）
$(1)\int \sqrt{a^2-x^2}dx(a>0)$ $(2)\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}(a>0)$

$(3)\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}}(a>0)$

二、分部积分法

由积分是导数的逆向过程可以想到，两个函数乘积的导数根据导数运算法则展开

（设 u(x)，v(x) 有连续一阶导数）

$(uv)' = u'v+uv'$

$==>uv' = (uv)' -u'v$

$==> \int uv'dx = \int (uv)'dx - \int u'vdx$

$==>\int udv = uv - \int vdu$

这种办法一般适用于两类不同函数相乘的积分（优先考虑指数函数和三角函数，一般不考虑反三角和对数函数）

例题（求下列不定积分）

$(1)\int xe^xdx$ $(2)\int xsinxdx$ $(3)\int xlnxdx$

$(4)\int xarctanxdx$

这篇关于考研数学——高数：不定积分的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

http://www.chinasem.cn/article/766421。 23002807@qq.com

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