2020张宇1000题【好题收集】【第二章：一元函数微分学】

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二.一元函数微分学

2.4

$$f^{\prime }(0)=a,f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-f(x)f(y)},求f(x)$$
虽然一眼就看出来是$tan$但是却怎么弄都弄不出来

看了答案才知道，其实解出来之前多半也是看出来了这个是什么函数，然后强行往那个方向凑
$f(0+0)带进去阔以得出f(0)=0,这个都能的得出来$

但是下面的强行凑就非常厉害~

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x+x)-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(\Delta x)+f(x)}{1-f(\Delta x)f(x)}-f(x)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(\Delta x)\left[1+f^2(x)\right]}{\Delta x[1-f(x)f(\Delta x)]}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\cdot [1+f^2(x)]\cdot \frac{1}{1-f(x)f(\Delta )}然后第一项和第三项化简，第二项保持不动=f^{\prime }(0)\cdot [1+f^2(x)]\cdot 1$$

$\therefore f^{\prime }(x)=a[1+f^2(x)]$
强行凑出这个$arctan$的样子，真是服了T_T

2.19

$$f(x)=\sqrt{1+x}+\sqrt{\frac{(1+x)\sqrt{x}}{e^{x-1}}}+arcsin\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2}},求f^{\prime }(1)$$
第一项用公式，第二项取对数，第三项用定义

2.22

$$F(x)=(x^2-x-2)|x^3-x|的不可导的点个数$$
这道题只是道选择题，如果一个一个算就比较麻烦
我们来分析一波，最简单的不可导的绝对值函数就是$f(x)=|x|$，那么为啥他不可导喃？
我们求用定义求的时候会发现$f^{\prime }(0)={\lim }_{x\to 0}\frac{|x|}{x}相当于1\cdot \frac{|x|}{x},当x趋向0^{+}或者0^{-}的时候取绝对值会变符号，而前面的系数不是0,所以整体会变符号，所以只有当前面的系数是0的时候，整体都是0，才可导$
$F(x)=(x-2)(x+1)\cdot |x(x+1)(x-1)|$
所以只有当$x=-1$的时候前面的系数$(-1-2)\cdot (-1+1)=0$，所以只有他才可导
这样很快就能得出只有2个点不可导

导数计算

我才知道为啥二阶导数要写成$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$而不写成$\frac{d^{2}y}{d^{2}x}$了
是因为如果$x$自己对自己求二阶导，应该是等于0的，如果写成后一种写法的话$\frac{d^{2}x}{d^{2}x}=1$了，这样就有问题

2.26【证明题】

$$f^{\prime }(0)=1,f^{\prime \prime }(0)=0,证明:在x=0处有\frac{d^{2}f(x^2)}{d{x}^2}=\frac{d^2{f}^2(x)}{d{x}^2}$$
看起来好绕啊
换一个写法吧，令$F(x)=f(x^2),G(x)=f^2(x)$,然后要证明的就是$$F^{\prime \prime }(0)=G^{\prime \prime }(0)$$
$F^{\prime }(x)=2x{f}^{\prime }(x^2),G^{\prime }(x)=2f(x)f^{\prime }(x)$
$$F^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{F^{\prime }(x)-F^{\prime }(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x{f}^{\prime }(x)-0}{x}=2f^{\prime \prime }(0)=2$$
$$\begin{gathered} G^{\prime \prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{G^{\prime }(x)-G^{\prime }(0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2f(x)f^{\prime }(x)-2f(0)f^{\prime }(0)}{x}=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)f^{\prime }(x)-f(x)+f(x)-f(0)}{x} \\ =2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)f^{\prime }(x)-f(x)}{x}+2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)(f^{\prime }(x)-1)}{x}+2f^{\prime }(0) \\ \stackrel{而1=f^{\prime }(0)}{=}2\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)(f^{\prime }(x)-f^{\prime }(0))}{x}+2f^{\prime }(0)=2f^{\prime \prime }(0)+2f^{\prime }(0)=2f^{\prime }(0) \end{gathered}$$
所以相等

2.40【乘积的求导阔以转换成对数】

$$y=[(1+x)(3+x{)}^9{]}^{\frac{1}{2}}(2+x{)}^4,求y^{\prime }(x)$$
这个转换很牛皮~取对数来求导

2.44

$$f(x)=x^5{e}^{6x},则f^{(2019)}(0)=$$
首先，n阶乘法求导展开长得就跟二项式展开差不多
$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}$$

然后我们观察$x^5$求导小于5次的时候是含有$x$的，而我们要带$x=0$进去，所以会变成$0$，当求导次数大于5次的时候也是0，所以只有当求5次导的时候才会有值

所以：只有这一项$C_{2019}^5(x^5{)}^{(5)}(e^{6x}{)}^{(2014)}$才会有值

或者把$e^{6x}$泰勒展开
$$f(x)=x^5$$

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