高代绿皮第四版课后习题1.5 T6

本文主要是介绍高代绿皮第四版课后习题1.5 T6，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

原题

设 t 是一个参数,

$|A(t)|=\left|\begin{matrix} {{a}_{11}}+t & {{a}_{12}}+t & \cdots & {{a}_{1n}}+t \\ {{a}_{21}}+t & {{a}_{22}}+t & \cdots & {{a}_{2n}}+t \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a}_{n1}}+t & {{a}_{n2}}+t & \cdots & {{a}_{nn}}+t \\ \end{matrix} \right|$

求证:

$|A (t)|=|A(0)|+t\displaystyle\sum\limits_{i,j=1} ^{n}{A_{ij}}$

其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 在 $|A(0)|$ 中的代数余子式

解析

思路:

将 $|A(t)|$ 的第一列拆分得

$|A(t)|=\left|\begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}}+t & \cdots & {{a}_{1n}}+t \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}}+t & \cdots & {{a}_{2n}}+t \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ {{a}_{n1}} & {{a}_{n2}}+t & \cdots & {{a}_{nn}}+t \\ \end{matrix} \right|+\left|\begin{matrix} t & {{a}_{12}}+t & \cdots & {{a}_{1n}}+t \\ t & {{a}_{22}}+t & \cdots & {{a}_{2n}}+t \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ t & {{a}_{n2}}+t & \cdots & {{a}_{nn}}+t \\ \end{matrix} \right|$

将第二个行列式的第一列乘以(-1)分别加到剩下n-1列上可得

$\left|\begin{matrix} t & {{a}_{12}}+t & \cdots & {{a}_{1n}}+t \\ t & {{a}_{22}}+t & \cdots & {{a}_{2n}}+t \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ t & {{a}_{n2}}+t & \cdots & {{a}_{nn}}+t \\ \end{matrix} \right|=\left|\begin{matrix} t & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ t & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ t & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|$

再将其按照第一列展开可得

$\left|\begin{matrix} t & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1n}} \\ t & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2n}} \\ \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ t & {{a}_{n2}} & \cdots & {{a}_{nn}} \\ \end{matrix} \right|=t\sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i1}}$