高代绿皮第四版课后习题复习题一T16

2024-02-26 20:10

文章标签 第四版复习题习题课后 t16 高代绿皮

本文主要是介绍高代绿皮第四版课后习题复习题一T16，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

原题

计算下列行列式的值

$|A|=\left| \begin{matrix} 1 & \cos {{\theta }_{1}} & \cos 2{{\theta }_{1}} & \cdots & \cos (n-1){{\theta }_{1}} \\ 1 & \cos {{\theta }_{2}} & \cos 2{{\theta }_{2}} & \cdots & \cos (n-1){{\theta }_{2}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & {} & \vdots \\ 1 & \cos {{\theta }_{n}} & \cos 2{{\theta }_{n}} & \cdots & \cos (n-1){{\theta }_{n}} \\ \end{matrix} \right|$

解析

思路:

利用复变函数中的欧拉公式

$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$

再由棣莫弗公式可知

$e^{ik\theta}=(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^{k}=\cos{k\theta}+i\sin{k\theta}$

由二项式展开公式可得

$LHS=\cos^{k}{\theta}+iC_{k}^{1}\cos^{k-1}{\theta}\sin{\theta}+i^{2}C_{k}^{2}\cos^{k-2}{\theta}\sin^{2}{\theta}+\cdots+i^{k}\sin^{k}{\theta}$

提取出其实部

$\begin{aligned}\Re(LHS)&= \cos^{k}{\theta}-C_{k}^{2}\cos^{k-2}{\theta}\sin^{2}{\theta}+C_{k}^{4}\cos^{k-4}{\theta}\sin^{4}{\theta}+\cdots\vspace{2ex}\\&=\cos^{k}{\theta}-C_{k}^{2}\cos^{k-2}{\theta}(1-cos^{2}{\theta})+\cdots\vspace{2ex}\\&=(1+C_{k}^{2}+C_{k}^{4}+\cdots) \cos^{k}{\theta}+\cdots\vspace{2ex}\\&=2^{k-1}\cos^{k}{\theta}+\cdots \end{aligned}$

故有

$\cos{k\theta}=\Re(LHS)=2^{k-1}\cos^{k}{\theta}+\cdots$

于是可以利用此公式将 $|A|$ 中第3至第n列元素进行展开

最后用第一列消去其余列的非最高次项后再提出后n-2列的公因式 $2^{k-2}\,(k=3,4,\cdots,n)$

注意到最后变成了Vandermonde行列式,运用公式求解即可

参考解题细节:

这篇关于高代绿皮第四版课后习题复习题一T16的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

http://www.chinasem.cn/article/750010。 23002807@qq.com

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