Luogu P5905 【模板】全源最短路(Johnson) 题解 全源最短路 Johnson算法

2024-02-22 11:28

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题目链接:Luogu P5905 【模板】全源最短路(Johnson)
题目描述:

给定一张有向图,求出任意两点之间的最短路。

题解:

使用Johnson算法即可。其思想就是将一个含有负权边的图变成无负权边的图之后,跑nDijkstra算法。对于一个没有负环的图,具体地:

  1. 建立超级源点,使其到每个结点建立一条权重为0的有向边,通过Bellman-Ford以超级源点为起点计算一次单元最短路,得到dis[0][i]表示超级源点0到结点i的最短路径;
  2. 遍历原图中的每一条边(u, v, w),修改权重为w + dis[0][u] - dis[0][v]
  3. 依次以每个结点作为起点执行Dijkstra算法,得到dis[i][j]表示以i为起点到j的最短路;
  4. 修改dis[i][j]dis[i][j] - dis[0][i] + dis[0][j]

通过上述操作后dis[i][j]即表示ij的最短路。首先解释修改边权后一定不存在负边,在最短路中如果存在(u, v, w)那么一定满足:dis[0][u] + w >= dis[0][v],因此有:w + dis[0][u] - dis[0][v] >= 0这也就表明修改后的每条边权值均为正。不难发现若两个结点st之间的最短路依次经过e1, e2, ..., en,那么最终的值为w1 + w2 + ... + wn + dis[0][s] - dis[0][t],因此只需要在最后减去多加的一部分即可获得最终的最短路。
上述算法的时间复杂度为 O ( n m l o g n ) O(nmlogn) O(nmlogn)其中n为结点个数,m为边的个数。

代码:LuoguP5905

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