【bzoj1096】【ZJOI2007】【仓库建设】【斜率优化dp】

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Description
L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。
Input
第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10
Sample Output
32
HINT
在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据， N ≤1000000。所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
题解:
设f(i)表示前i个工厂,并且在第i个工厂建仓库的最小费用。
设s(i)为第i个工厂到第1个工厂的距离.
a(i)为工厂i的货物数量。
c(i)为在工厂i建造仓库的费用。
则

f (i) = m i n (f (i), f (j) + \sum k = j + 1 i (s (i) - s (k)) * a (k) + c (i)

$f(i)=min(f(i),f(j)+\sum_{k=j+1}^{i}(s(i)-s(k))*a(k)+c(i)$

f (i) = m i n (f (i), f (j) + s (i) * \sum k = j + 1 i a (k) - \sum k = j + 1 i s (k) * a (k) + c (i))

$f(i)=min(f(i),f(j)+s(i)*\sum_{k=j+1}^{i}a(k)-\sum_{k=j+1}^{i}s(k)*a(k)+c(i))$
预处理a(i)和a(i)*s(i)的前缀和.可以做到O(

n2 $n^2$ )。
代入前缀和的式子显然可以斜率优化。
维护一个下凸壳即可。
时间复杂度O(

n <script type="math/tex" id="MathJax-Element-555">n</script>);
代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 1000010
using namespace std;
int q[N],n,l,r;
long long s[N],a[N],p[N],sp[N],c[N],f[N];
long long G(int a,int b){return f[b]-f[a]+sp[b]-sp[a];}
long long S(int a,int b){return p[b]-p[a];}
double work(int a,int b){return G(a,b)*1.0/S(a,b)*1.0;}
int main(){ scanf("%d",&n);for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld%lld%lld",&s[i],&a[i],&c[i]);for (int i=1;i<=n;i++) p[i]=p[i-1]+a[i];for (int i=1;i<=n;i++) sp[i]=sp[i-1]+s[i]*a[i];for (int i=1;i<=n;i++){while (l<r&&work(q[l],q[l+1])<s[i]) l++;f[i]=f[q[l]]+s[i]*(p[i]-p[q[l]])-(sp[i]-sp[q[l]])+c[i]; while (l<r&&work(q[r-1],q[r])>work(q[r],i)) r--;q[++r]=i;}cout<<f[n]<<endl;     
}