【动态规划】【组合数学】1866. 恰有 K 根木棍可以看到的排列数目

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本文涉及知识点

动态规划汇总

LeetCode1866. 恰有 K 根木棍可以看到的排列数目

有 n 根长度互不相同的木棍，长度为从 1 到 n 的整数。请你将这些木棍排成一排，并满足从左侧可以看到恰好 k 根木棍。从左侧可以看到木棍的前提是这个木棍的左侧不存在比它更长的木棍。
例如，如果木棍排列为 [1,3,2,5,4] ，那么从左侧可以看到的就是长度分别为 1、3 、5 的木棍。
给你 n 和 k ，返回符合题目要求的排列数目。由于答案可能很大，请返回对 109 + 7 取余的结果。
示例 1：
输入：n = 3, k = 2
输出：3
解释：[1,3,2], [2,3,1] 和 [2,1,3] 是仅有的能满足恰好 2 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。
示例 2：
输入：n = 5, k = 5
输出：1
解释：[1,2,3,4,5] 是唯一一种能满足全部 5 根木棍可以看到的排列。
可以看到的木棍已经用粗体+斜体标识。
示例 3：
输入：n = 20, k = 11
输出：647427950
解释：总共有 647427950 (mod 109 + 7) 种能满足恰好有 11 根木棍可以看到的排列。
提示：
1 <= n <= 1000
1 <= k <= n

动态规划

原理

n根木棍,枚举最后一个木棍：
$\begin{cases} 相比n-1根木框，多看到一根木框 & 最后一根木棍是n \\ 相比n-1根木框，看到相同的木框& 最后一根木棍不是n \\ \end{cases}$
假定最后一个木框是j ，由于它在木棍n之后，所以必定看不到。删除j，不影响结果。删除后，将大于等于j的木棍减少1，就是1到n-1的一个排列。

动态规划的状态表示

pre[j] 表示i-1根木框，能看到j根木棍的可能数。
dp[j] 表示i+1根木框，能看到j根木棍的可能数。

动态规划的转移方程

处理最后一个木棍为n:
dp={0} dp += pre;
处理最后一根木棍不是n:
dp[j] += pre[j]*(i-1)
除了初始状态，其它状态pre[0]都为0。

初始状态

pre = {1}

动态规划的填表顺序

i从0到大。

动态规划的返回值

pre[k]

代码

核心代码

template<int MOD = 1000000007>
class C1097Int
{
public:C1097Int(long long llData = 0) :m_iData(llData% MOD){}C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD);}C1097Int& operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int& operator-=(const C1097Int& o){m_iData = (m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD;return *this;}C1097Int  operator-(const C1097Int& o){return C1097Int((m_iData + MOD - o.m_iData) % MOD);}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;}C1097Int& operator*=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData * o.m_iData) % MOD;return *this;}bool operator<(const C1097Int& o)const{return m_iData < o.m_iData;}C1097Int pow(long long n)const{C1097Int iRet = 1, iCur = *this;while (n){if (n & 1){iRet *= iCur;}iCur *= iCur;n >>= 1;}return iRet;}C1097Int PowNegative1()const{return pow(MOD - 2);}int ToInt()const{return m_iData;}
private:int m_iData = 0;;
};class Solution {
public:int rearrangeSticks(int n, int k) {vector<C1097Int<> > pre = { 1 };for (int i = 1; i <= n; i++){vector<C1097Int<>> dp = { 0 };dp.insert(dp.end(), pre.begin(), pre.end());//最后一根木棍是 ifor (int j = 1; j < pre.size(); j++){//最后一根木棍是[1,i)dp[j] += pre[j] * (i - 1);}pre.swap(dp);}return pre[k].ToInt();}
};

测试用例


template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{assert(t1 == t2);
}template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{if (v1.size() != v2.size()){assert(false);return;}for (int i = 0; i < v1.size(); i++){Assert(v1[i], v2[i]);}}int main()
{	int n, k;{Solution sln;n =3 ,k=2 ;auto res = sln.rearrangeSticks(n, k);Assert(res, 3);}{Solution sln;n = 5, k = 5;auto res = sln.rearrangeSticks(n, k);Assert(res, 1);}{Solution sln;n = 20, k = 11;auto res = sln.rearrangeSticks(n, k);Assert(res, 647427950);}
}

2023年2月

class C1097Int
{
public:
C1097Int(int iData = 0) :m_iData(iData)
{

 }C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const{return C1097Int(((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod);}C1097Int&  operator+=(const C1097Int& o){m_iData = ((long long)m_iData + o.m_iData) % s_iMod;return *this;}C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const{return((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod;}C1097Int&  operator*=(const C1097Int& o){m_iData =((long long)m_iData *o.m_iData) % s_iMod;return *this;}int ToInt()const{return m_iData;}

private:
int m_iData = 0;;
static const int s_iMod = 1000000007;
};

int operator+(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator+=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator+(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

int operator*(int iData, const C1097Int& int1097)
{
int iRet = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iRet;
}

int& operator*=(int& iData, const C1097Int& int1097)
{
iData = int1097.operator*(C1097Int(iData)).ToInt();
return iData;
}

template
void MinSelf(T* seft, const T& other)
{
*seft = min(*seft, other);
}

template
void MaxSelf(T* seft, const T& other)
{
*seft = max(*seft, other);
}

int GetNotRepeateNum(int len, int iHasSel)
{
if (0 == len)
{
return 1;
}
if ((0 == iHasSel) && (1 == len))
{
return 10;
}
int iRet = 1;
if (iHasSel > 0)
{
for (int tmp = 10 - iHasSel; (tmp >= 2)&& len ; tmp–,len–)
{
iRet *= tmp;
}
}
else
{
iRet *= 9;
len–;
for (int tmp=9; (tmp>=2)&&len; len–,tmp–)
{
iRet *= tmp;
}
}
return iRet;
}

int GCD(int n1, int n2)
{
int t1 = min(n1, n2);
int t2 = max(n1, n2);
if (0 == t1)
{
return t2;
}
return GCD(t2%t1, t1);
}

void CreateMaskVector(vector& v,const int* const p,int n )
{
const int iMaxMaskNum = 1 << n;
v.resize(iMaxMaskNum);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
v[1 << i] = p[i];
}
for (int mask = 1; mask < iMaxMaskNum ; mask++)
{
const int iSubMask = mask&(-mask);
v[mask] = v[iSubMask] + v[mask-iSubMask];
}
}

class Solution {
public:
int rearrangeSticks(int n, int k) {
vector pre(k + 1);
pre[0] = 1;
for (int iN = 1; iN <= n; iN++)
{
vector dp(k + 1);
for (int j = 1; j <= k; j++)
{
dp[j] = pre[j - 1] + pre[j] * (iN - 1);
}
pre.swap(dp);
}
return pre[k].ToInt();
}
};

2023年9月

class Solution {
public:
int rearrangeSticks(int n, int k) {
vector<C1097Int<>> pre = { 1 };
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
vector<C1097Int<>> dp(i + 1);
for (int j = 0; j < pre.size(); j++)
{
dp[j + 1] += pre[j];
dp[j] += pre[j] * (i - 1);
}
pre.swap(dp);
}
return pre[k].ToInt();
}
};

扩展阅读

视频课程

有效学习：明确的目标及时的反馈拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

我想对大家说的话
闻缺陷则喜是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛