GSC波束形成严谨推导深入细节

GSC广义旁瓣相消器的结构

如下图所示：

$$u(t)=x_d(t)\cdot a\left({\theta }_d\right)+\sum _{j=1}^{M-1}{x}_j(t)\cdot a\left({\theta }_j\right)+N(t)$$
某时刻空间中存在M个信号与噪声，其中M-1个为干扰信号,由N个阵列接收,M<N。
并类似于LCMV有如下约束：
$${\mathbf{C}}^H{\mathbf{w}}_q=\mathbf{g}(1)$$
$C_{N\times M}$是由期望方向和干扰方向导向矢量列向量组成的约束矩阵，
$$g={\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ \cdots \\ 0\end{array}\right]}_{M\times 1}$$

在GSC中${\mathbf{w}}_q$为固定波束形成权向量
$${\mathbf{w}}_q=\mathbf{C}{\left({\mathbf{C}}^H\mathbf{C}\right)}^{-1}\mathbf{g}$$

这可以理解为对式（1）直接求伪逆即下面的第二种情况

对于线性方程组${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{x}}_{n\times 1}={\mathbf{b}}_{m\times 1}$
考虑（行/列）满秩的情况，分下面三种情况：
（1）如果m=n,则有唯一解：$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{b}$$
（2）如果m<n，即方程个数小于未知数个数，此时方程组有无穷多解。为了得到唯一解，必须增加约束条件，要求x的范数最小，这样得到的解称为最小范数解。$$\mathbf{x}={\mathbf{A}}^H{\left(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^H\right)}^{-1}\mathbf{b}$$
（3）如果m>n，即方程的个数大于未知数个数，此时方程组不存在精确解，只存在近似解。我们希望找到一个是方程组两边的误差平方和为最小的解，即最小二乘解。 x = ( A H