博弈论入坑

2024-02-17 22:38

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本文主要是介绍博弈论入坑，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

前言

我喜欢游戏，我知道有些游戏无论我怎样努力最后的结果一定是输的，或者是无论怎样玩我都是赢得，这样的一类游戏从一开始就知道结果的游戏，一定会有一种数学方法去描述。

Nim博弈

所谓的Nim的博弈就是一种从一开始就知道胜负的游戏。这是一种两个人玩的游戏，玩家双方面对一堆硬币（或者石头或者豆粒）。(假设有k>=1堆硬币，每堆分别有 ${n_1,n_2,n_3……n_k}$ 枚硬币。游戏的目标就是取得最后一枚硬币。每个玩家只能任选一堆去拿不少于1个硬币。率先拿完所有硬币的玩家获胜。

我们来看其中的某种特殊情况：

首先是如果只有一堆，先手一下全拿完，先手必胜。第二种是有两堆，数量为n1、n2，如果n1!=n2先手的策略就是拿多的那一堆，拿完后使得两堆相等，这样重复让两堆相等那么肯定先手会赢；反之如果n1==n2先手必败。

而如果是很多堆，或者是玩法并不是拿任意>=1的硬币，而是规定硬币的个数怎么办呢？？？

SG函数

这里我就不给出证明过程了，直接说结论和解题方法。

首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0；

我们就可以定义一下sg(x) = mex{sg(y)|y是x的后继}这里的后继指的是存在x转换成y的方法，即对于1堆硬币来说原先有y个硬币，能通过一次move得到y枚硬币。sg(x)是对于一个游戏的子问题来说的，也就是其中一堆硬币，最后我们需要算出所有的sg值，然后进行异或运算g(G1)^g(G2)…^g(Gn) = 0先手必败，不为0先手必胜。

get_sg代码

int f[maxn];      // 可以取的石子个数 idx[1~n]
int sg[maxn];     // 0 ~ n sg函数的值
int isin[maxn];   // mex{} 
void getSG(int n)
{memset(sg, 0, sizeof(sg));for(int i = 1; i <= n; i++) {memset(isin, 0, sizeof(isin));for(int j = 1; f[j] <= i; j++) {isin[sg[i-f[j]]] = 1;}for(int j = 0; j <= n; j++) {if(isin[j]==0) {    sg[i] = j;break;}}}
}

一些特例

1.可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1) 这其实就是巴什博奕。

2.可选步数为任意步，SG(x) = x，这其实是Nim博弈原型。

3.可选步数为一系列不连续的数，用getSG()计算，这是Nim博弈变式。

一道题

小米OJhttps://code.mi.com/problem/list/view?id=117&cid=4

这道题是在堆的数量为2，只能拿斐波那契数的一个特例。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const int maxn = 1e4 + 10;
int f[maxn];      // 可以取的石子个数 idx[1~n]
int sg[maxn];     // 0 ~ n sg函数的值
int isin[maxn];   // mex{} 
void get_f() {f[1] = 1;f[2] = 2;for(int i = 3; f[i-1] < maxn; i++) {f[i] = f[i-1] + f[i-2];}
}int main() 
{get_f();getSG(maxn);int num1, num2;while(cin >> num1 >> num2) {if((sg[num1]^sg[num2])==0) {cout << "Xiaobing Win" << endl;}else {cout << "Xiaoai Win" << endl;}}return 0;
}