【考研数学】高等数学第三模块——积分学 | Part III 二重积分

引言

积分学前面两个部分是一元积分的相关内容，今天开始进入重积分的学习。其实如果能理解好一元积分的定义和特点，稍加练习后，直接接上重积分是很不错的，因为彼此之间都有很多相似之处。同样，之前的微分学，二元微分也应该直接放在一元微分后面，马上续上去，趁热打铁，增强概念的理解深入。

一、概念与基本性质

1.1 实际应用背景

我们可以先回想一下一元积分的背景是用来做什么的。在定积分定义介绍中，我提出了两个例子，一个是运动问题的路程计算，还有一个是曲边梯形面积的计算。这些都是属于一元不规则量的计算。二重积分，便是用来解决二元不规则量的计算。

（1）平面薄片的质量

设平面有限闭区域 $D$ 的面密度为 $\rho (x,y)$ ，求其质量 $m$ 。

如果这个平面的密度是分布均匀的，那这个质量我们就很轻松可以算出来，为 $\rho S$ ，$S$ 为该区域的面积。但是现在，密度分布是不均匀的，如何去精确计算出质量呢？

我们可以利用定积分那样的微元法思想。

首先，将区域 $D$ 划分为无数个小区域，每一个小区域的面积为 $\Delta {\sigma }_2,\Delta {\sigma }_2,\dots ,\Delta {\sigma }_n;$

接着，在每一个小区域可以任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)\in \Delta {\sigma }_i$ ，于是每个小区域的质量就可以近似等于 $m_i\approx \rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$ ，那么整个平面区域 $D$ 的总质量也可近似为：$$m\approx \sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$ 令 ${\lambda }_i$ 表示小区域 $\Delta {\sigma }_i$ 的直径（即区域上两点之间的最大距离），$\lambda =max({\lambda }_i)$ 。当每一个小区域的直径无限接近于 0 时，区域便划分得无穷细，我们便可以得到该区域的精确质量为：$$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\rho ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$

（2）曲顶柱体的体积

我们可以类似上面同样的思想，进行微分，然后得到精确的体积。

1.2 二重积分的概念

同样可以将上面的实际问题，抽象成一个数学模型。设函数 $f(x,y)$ 在平面有界闭区域上有界。

（a）将该区域划分为若干个小区域，每个小区域面积为 $\Delta {\sigma }_2,\Delta {\sigma }_2,\dots ,\Delta {\sigma }_n;$
（b）在每一个小区域可以任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)\in \Delta {\sigma }_i$ ，作和：$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$ 令 ${\lambda }_i$ 表示小区域 $\Delta {\sigma }_i$ 的直径（即区域上两点之间的最大距离），$\lambda =max({\lambda }_i)$ 。若极限 $$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$ 存在，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，记为 $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma .$$

1，函数在该区域上满足连续条件时，才可积。
2，二重积分同样是与区域的划分方法无关，与点的选取方法无关。因此，若函数在区域 {$(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1$} 可积时，可以像定积分那样进行等分和选取一些特殊的点，于是有：$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f(\frac{i}{n},\frac{j}{n})={\iint }_{D}f(x,y)dxdy.$$

1.3 二重积分的性质

同样和定积分一样，有区域可加性，常数可以提出来，当被积函数为 1 时，表示区域的面积等等。这里说几个特殊的性质。

（一）对称性质

设区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，右侧区域设为 $D_1$ 。

当有 $f(-x,y)=-f(x,y)$ 时，有 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=0;$
当有 $f(-x,y)=f(x,y)$ 时，有 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=2{\iint }_{D_1}f(x,y)dxdy.$

有点像奇偶性那样，不过与 $y$ 轴对称，实际上是对变量 $x$ 。
同样，若关于 $x$ 轴对称，有类似结论。

另外，若区域 $D$ 关于 $y=x$ 对称，则变量 $x,y$ 可自由交换位置：${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(y,x)dxdy$ 。在有些情况下，可以调换后与原积分进行合并，达到简化积分的作用。

（二）积分中值定理

二重积分同样也有积分中值定理，和一元的类似。

设 $D$ 为平面的闭区域，其面积为 $A$ ，函数 $f(x,y)$ 在区域上连续，则存在 $(\xi ,\eta )\in D$ ，使得 $f(\xi ,\eta )A={\iint }_{D}f(x,y).$

二、积分法

2.1 直角坐标法

二重积分的计算其实是变二重为二次，关键是找到两个变量的范围，我一般采用画箭头的方法。

如上图所示，往上一画箭头，我能判断出 $x$ 的范围，是最后积分的。然后判断 $y$ 在两个 $\phi (x)$ 之间，便可以写出二重积分 ${\iint }_{D}f(x,y)dxdx={\int }_a^{b}dx{\int }_{\phi 1}^{\phi 2}f(x,y)dy.$

同样也可以画一个往右的箭头，先对 $x$ 积分，最后对 $y$ 积分。也正是因为有这两种方式，因此启发我们，当某一个积分无法计算出来时，可以改变下积分次序，再去试试求解。

举个例子吧。计算 ${\iint }_D(x+y)dxdy$ ，其中 $D$ 由 $x=y^2$ 和 $y=x-2$ 围成。

首先看一下积分区域，是不是有对称性，说不定可以进行简化。这个题目是没有。接着，我们看一下是用向上的箭头，还是向右的箭头。

显然，如果用向上的箭头的话，区域就要分两块表示，不太方便。

因此，我们选择用向右的箭头，也就是最后积分 $y$ 。

于是有：$$I={\int }_{-1}^{2}dy{\int }_{y^2}^{y+2}(x+y)dx={\int }_{-1}^2(-\frac{1}{2}{y}^4-y^3+\frac{3}{2}{y}^2+4y+2)dy=\frac{189}{20}$$

2.2 极坐标法

一般当出现 $x^2+y^2$ 时，采用极坐标比较方便。因为极坐标是对直角坐标采用了三角变换 $x=r\cdot cos\theta ,y=r\cdot sin\theta$ ，有 $r^2=x^2+y^2$ 。使用时，需要判断出 $r$ 和 $\theta$ 的范围。另外注意最后要多加一个 $r$ 在被积函数里头。

同样举个例子，计算 $I={\iint }_{D}xydxdy$ ，其中区域 $D$ 是由圆 $x^2+y^2=2y$ ，直线 $y=x$ 以及 $y$ 轴围成。

该区域用极坐标表示为：$\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 2sin\theta$ 。其中 $\theta$ 的确定是用一条射线逆时针扫过积分区域。 $r$ 的确定是用过原点的射线穿过积分区域，穿入时的线位下限，穿出为上限。本题穿入是原点处，穿出是圆对应的曲线 $r^2=2rsin\theta$。

于是有： $$I={\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{2sin\theta }{r}^{3}sin\theta cos\theta dr=4{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}si{n}^5\theta d(sin\theta )=4\times \frac{1}{6}\times (1-\frac{1}{8})=\frac{7}{12}$$

三、二重积分的应用

二重积分同样也有几何和物理应用的。

3.1 几何应用

1. 平面区域面积

二重积分可以用来求一个平面区域的面积，当被积函数为 1 时，积分值就代表面积 $A$ 。$$A={\iint }_{D}1dxdy$$ 2. 曲顶柱体的体积

曲顶柱体的体积也可以利用二重积分得到，被积函数取该曲顶柱体的 $z$ 表达式即可，设为 $\Sigma :z=f(x,y)(z\ge 0)$ ，其中 $(x,y)\in D$ ，则曲顶柱体的体积为：$$V={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$$ 3. 空间曲面的面积

空间有限曲面 $\Sigma :z=f(x,y),(x,y)\in D$ ，其面积计算公式为：$$A={\iint }_D\sqrt{1+(\frac{\partial z}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial z}{\partial y}{)}^2}dxdy$$

3.2 物理应用

设平面薄片 $D$ 的面密度为 $\rho (x,y)$ ，则

1. 质心坐标

$D$ 的质心坐标为 $(\overline{x},\overline{y})$ ，其中 $$\overline{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho dxdy}{{\iint }_D\rho dxdy},\overline{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho dxdy}{{\iint }_D\rho dxdy}$$

2. 转动惯量

转动惯量是对标物体平动中的质量 $m={\int }_{m}dm$ 的量，一般表达为 $J={\int }_m{r}^{2}dm$ 。其中 $r$ 表示微元到转动轴的距离，于是：

（1）$D$ 绕 $x$ 轴的转动惯量为 $I_x:{\iint }_D{y}^2\rho dxdy$ 。

（2）$D$ 绕 $y$ 轴的转动惯量为 $I_y:{\iint }_D{x}^2\rho dxdy$ 。

（3）$D$ 绕原点的转动惯量为 $I_o:{\iint }_D(x^2+y^2)\rho dxdy$ 。

（4）设 $M(x,y)$ 为区域 $D$ 上一点， $l$ 为一条直线，$M$ 到 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $D$ 绕 $l$ 的转动惯量为 $I_l:{\iint }_D{d}^2\rho dxdy$ 。