本文主要是介绍线性代数笔记23——矩阵的对角化和方幂，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！
特征值矩阵
假设A有n个线性无关的特征向量x1,x2……xn，这些特征向量按列组成矩阵S，S称为特征向量矩阵。来看一下A乘以S会得到什么：
最终得到了S和一个以特征值为对角线的对角矩阵的乘积，这个对角矩阵就是特征值矩阵，用Λ表示：
没有人关心线性相关的特征向量，上式有意义的前提是S由n个线性无关的特征向量组成，这意味着S可逆，等式两侧可以同时左乘S-1：
AS=SΛ和S-1AS=Λ就是对角化的两种方法。需要注意的是，并非所有矩阵A都存在n个线性无关的特征向量，这类矩阵不能对角化。
矩阵对角化还有另一种表达：
我们已经知道了矩阵的LU分解，A=LU；格拉姆-施密特正交化，A=QR；现在有多了一种对角化分解，A=SΛS-1
矩阵的方幂
如果A存在特征值和特征向量，即Ax = λx，那么A2的特征值和特征向量是什么？
这在上一章的示例中出现过，将Ax = λx的等式两侧同时左乘A就可以表示A的特征向量：
由于λ是标量，所以可以把λ单独提出来：
现在可以得出结论了，A2的特征向量不变，特征值变成了λ2
可以用同样的方式看看A2的对角化：
按照这个思路可以继续计算Ak的对角化，Ak的特征向量不变，Ak的特征值矩阵是A的特征值矩阵的k次方：
根据上式，如果k→∞，在所有特征值|λi|<0时，Ak→0，当然，前提是A有n个线性无关的特征向量。
对角化的前提
对角化的前提是A存在n个线性无关的特征向量，问题是怎样判断A存在n个线性无关的特征向量？一个判断方法是：当A的所有特征组互不相同时，A必然存在n个线性无关的特征向量；如果存在重复的特征值就不好说了，需要另行判断。
n阶单位矩阵的所有特征值都是1，但是它仍然有n个线性无关的特征向量，因此单位矩阵可以对角化：
再来看三角矩阵。三角矩阵A的各列是线性无关的，意味着它有唯一解，没有n个线性无关的特征向量，比如下面这个：
先计算A的特征值：
作为2×2矩阵，A只有一个特征向量，它无法完成对角化。
使用对角化
给定一个向量u0和一个能够对角化的矩阵A，如果uk+1=Auk，那么u100 = ?
可以简单的向后推导一下：
现在可以得到结论，u100=A100 u0，问题是如何求得A100？
A有n个线性无关的特征向量x1,x2,……,xn，这意味着u0可以看成这些特征向量的线性组合：
以单位矩阵为例，假设A是3×3的单位矩阵，则A的三个特征向量是：
这三个特征向量可以通过线性组合成为任意的三维向量。
现在可以将Au0写成下面的形式：
由于Ci是标量，所以可以将Ci写到前面：
x1,x2,……,xn都是A的特征向量，它们以特征值为媒介和A存在关联，Axi = λixi，因此：
等式两侧同时左乘A：
同样，可以把比标量Ciλi放到前面：
无论等式两侧再左乘几个A都将得到类似的结果，因此：
这就是最终的答案，如果真要计算A100 u0，可以先把u0展开成特征向量的线性组合，求出具体的C值，在使用SΛ100C求解。
综合示例
a,b都是0的时候没什么可算的，主要看ab≠0的情况。C看起来比较别扭，还是用A来说话。先来看一下特征值：
特征值矩阵和特征向量矩阵是：
当a=b=-1时：
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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