#错排，排列组合#洛谷 4921 洛谷 4931 情侣？给我烧了

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题目

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分析

这里讲的是加强版，希望$O(1)$回答
在$n$排选择$m$排座位的方案是$C(n,m)$，在$n$对情侣中选择$m$对和睦的情侣坐在这$m$排位置上，方案是$P(n,m)$，每排的座位都可以交换坐，所以方案为$2^m$，剩下的不和睦的方案把它设为$dp[n-m]$
那么答案就是$$C(n,m)\ast P(n,m)\ast 2^m\ast dp[n-m]$$
关键是$dp[k]$,对于一对情侣，若一个在左上角，有$2k$种选择，而右上角有$2k-2$种选择，分类讨论

• 若右上角的配偶跟左上角的配偶在同一排，那么他们一个坐在一边，另一个坐在另一边，剩下的就是$k-2$对不和谐的情侣，所以是$(2k-2)dp[k-2]$
• 若不在同一排，那么可以认为他们是同一对不和谐的情侣，所以是$dp[k-1]$

综上所述,$$dp[k]=4k(k-1)(2(k-1)dp[k-2]+dp[k-1])$$
以上的东西预处理$O(1)$回答

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define rr register
using namespace std;
const int N=5000001,mod=998244353;
int fac[N],inv[N],dp[N],mi[N];
inline signed iut(){rr int ans=0; rr char c=getchar();while (!isdigit(c)) c=getchar();while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();return ans;
}
inline void print(int ans){if (ans>9) print(ans/10);putchar(ans%10+48);
}
signed main(){fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=dp[0]=mi[0]=1; mi[1]=2;for (rr int i=2;i<N;++i) inv[i]=1ll*inv[mod%i]*(mod-mod/i)%mod,mi[i]=2ll*mi[i-1]%mod;for (rr int i=2;i<N;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod,inv[i]=1ll*inv[i-1]*inv[i]%mod;for (rr int i=2;i<N;++i) dp[i]=(1ll*(1ll*dp[i-2]*(2*i-2)+dp[i-1])%mod*i%mod*(i-1)<<2)%mod;for (rr int t=iut();t;--t){rr int n=iut(),k=iut();print(1ll*fac[n]*fac[n]%mod*inv[k]%mod*inv[n-k]%mod*inv[n-k]%mod*mi[k]%mod*dp[n-k]%mod);putchar(10);}return 0;
}

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