2020牛客寒假算法基础集训营3——G.牛牛的Link Power II【线段树】(画图详解)

本文主要是介绍2020牛客寒假算法基础集训营3——G.牛牛的Link Power II【线段树】(画图详解),希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值,需要的开发者们随着小编来一起学习吧!

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题目描述

牛牛有一颗大小为 n n n 的神奇 L i n k − C u t Link-Cut LinkCut 数组,数组上的每一个节点都有两种状态,一种为 l i n k link link 状态,另一种为cut状态。数组上任意一对处于link状态的无序点对(即(u,v)和(v,u)被认为是同一对)会产生dis(u,v)的link能量,dis(u,v)为数组上u到v的距离。

我们定义整个数组的Link能量为所有处于link状态的节点产生的link能量之和。

一开始数组上每个节点的状态将由一个长度大小为n的01串给出,'1’表示Link状态,'0’表示Cut状态。

牛牛想要知道一开始,以及每次操作之后整个数组的Link能量,为了避免这个数字过于庞大,你只用输出答案对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7取余后的结果即可。


输入描述:

第一行输入一个正整数 n ( 1 ≤ n ≤ 1 0 5 ) n(1 \leq n \leq 10^5) n(1n105)
接下里一行输入一个长度大小为n的01串表示数组的初始状态,'1’表示Link状态,'0’表示Cut状态。
接下来一行输入一个正整数 m ( 1 ≤ m ≤ 1 0 5 ) m(1 \leq m \leq 10^5) m(1m105)表示操作的数目

接下来m行,每行输入两个正整数 q , p o s ( q ∈ { 1 , 2 } , 1 ≤ p o s ≤ n ) q,pos(q \in \{ 1,2 \},1 \leq pos \leq n) q,pos(q{1,2},1posn)

  1. 当q=1时表示牛牛对数组的第pos个元素进行操作,将其赋值为1,保证在这个操作之前,该元素的值为0。
  2. 当q=2时表示牛牛对数组的第pos个元素进行操作,将其赋值为0,保证在这个操作之前,该元素的值为1。

输出描述:

请输出m+1行表示一开始,以及每次操作之后整个数组的Link能量,为了避免这个数字过于庞大,你只用输出答案对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7取余后的结果即可。


输入

5
00001
7
1 1
2 5
2 1
1 2
1 4
1 3
1 1


输出

0
4
0
0
0
2
4
10


题意

  • 给你一个只含 0 0 0 1 1 1的串,定义串的Link值为串中两个的 1 1 1之间的距离的和, ( u , v ) (u,v) (u,v) ( v , u ) (v,u) (v,u)被看认为是同一对,有 m m m次操作,每次操作可以把串中某个 1 1 1变为 0 0 0,或者把某个 0 0 0变为 1 1 1,求一开始和每次操作后串的 L i n k Link Link值。

题解

  • 用线段树直接维护即可
  • 区间内 1 1 1 的数量 c n t cnt cnt L i n k Link Link 值,区间内所有的 1 1 1 到区间左边界的距离之和 d l dl dl,区间内所有的 1 1 1 的区间右边界距离之和 d r dr dr
  • 查询的时候只要输出 t r e e [ 1 ] . L i n k tree[1].Link tree[1].Link 即可,修改时只需改变区间内 c n t cnt cnt,然后合并区间
  • 现在我们考虑合并区间
    在这里插入图片描述
    如图,考虑这样的普遍情况,我们有左区间、右区间,现在要将两区间合并。
    合并之后的 L i n k Link Link = = = 左 区 间 内 部 的 L i n k + 右 区 间 内 部 的 L i n k + 跨 越 中 间 m i d ( 黄 线 ) 的 贡 献 ( 紫 线 ) 左区间内部的Link+右区间内部的Link+跨越中间mid(黄线)的贡献(紫线) Link+Link+mid线(线)
    那么我们只需要得到 紫 线 紫线 线 就可以求得合并的 L i n k Link Link
    我们将 紫 线 紫线 线 分成左右两部分来看,很容易发现, 紫 线 左 部 分 紫线左部分 线 = 右 . c n t ∗ 左 . d r =右.cnt*左.dr =.cnt.dr,同理, 紫 线 右 部 分 紫线右部分 线 = 左 . c n t ∗ 右 . d l =左.cnt*右.dl =.cnt.dl
  • 但是这样并不是最终答案,考虑下图
    在这里插入图片描述
    这是数据 11111 11111 11111 的图,经过我们的分析,显然上述合并方程是正确的,但是忽略了一个问题,就是 d l dl dl d r dr dr 的取值问题。
    我们定义 d l : 区 间 内 所 有 的 1 到 区 间 左 端 点 的 距 离 和 dl:区间内所有的1到区间左端点的距离和 dl:1,但是对于左端点如果是1的时候,这个距离是没有被计算到的(如上图)
    当我们合并的时候,正常来说 右 . d l = 1 + 2 = 3 右.dl=1+2=3 .dl=1+2=3,但实际上,第四个1到左端点的距离是0,我们得到的 右 . d l = 2 右.dl=2 .dl=2
    那我们发现,缺少的就是蓝色框中的长度,容易发现,这部分是 左 边 所 有 1 左边所有1 1 右 边 所 有 1 右边所有1 1 共同贡献的,而整个蓝框的长度就是1个单位长度,那么缺少的是 条 数 ∗ 1 = 条 数 条数*1=条数 1=。那么我们就可以得到 缺 少 的 部 分 = 左 . c n t ∗ 右 . c n t ∗ 1 缺少的部分 = 左.cnt*右.cnt*1 =.cnt.cnt1,计算 合 并 L i n k 合并Link Link 的时候加上这部分即可。
  • 至此,这道题就算解决完了,注意取模,不要爆精度即可。

AC-Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e5 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;string s;
struct Node {int left, right;ll Link, dl, dr, cnt;
};
struct Segment_Tree {
#define mid ((tree[rt].left + tree[rt].right) >> 1)Node tree[maxn << 2];void PushUp(int rt) {tree[rt].cnt = tree[rt << 1].cnt + tree[rt << 1 | 1].cnt;int t = (tree[rt << 1].cnt * tree[rt << 1 | 1].dl + tree[rt << 1 | 1].cnt * tree[rt << 1].dr) % mod; // 跨越两个区间mid的贡献tree[rt].Link = tree[rt << 1].Link + tree[rt << 1 | 1].Link + t + tree[rt << 1].cnt * tree[rt << 1 | 1].cnt;tree[rt].dl = tree[rt << 1].dl + tree[rt << 1 | 1].dl + tree[rt << 1 | 1].cnt * (tree[rt << 1].right - tree[rt << 1].left + 1) % mod;tree[rt].dr = tree[rt << 1].dr + tree[rt << 1 | 1].dr + tree[rt << 1].cnt * (tree[rt << 1 | 1].right - tree[rt << 1 | 1].left + 1) % mod;}void build(int rt, int l, int r) {tree[rt].left = l;tree[rt].right = r;if (l == r) {tree[rt].dl = tree[rt].dr = tree[rt].Link = 0;if (s[l] == '1')	tree[rt].cnt = 1;else 	tree[rt].cnt = 0;return;}build(rt << 1, l, mid);build(rt << 1 | 1, mid + 1, r);PushUp(rt);}void update(int rt, int pos, int val) {if (tree[rt].left == tree[rt].right) {tree[rt].cnt = val;return;}if (pos <= mid)	update(rt << 1, pos, val);else	update(rt << 1 | 1, pos, val);PushUp(rt);}
#undef mid
};
Segment_Tree st;
int main() {int n;	while (cin >> n) {cin >> s;	s = " " + s;st.build(1, 1, n);cout << st.tree[1].Link % mod << endl;int m;	cin >> m;while (m--) {int q, pos;	cin >> q >> pos;st.update(1, pos, q == 1 ? 1 : 0);cout << st.tree[1].Link % mod << endl;}}
}

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