9子空间的投影和Ax=b

本文主要是介绍9子空间的投影和Ax=b，希望对大家解决编程问题提供一定的参考价值，需要的开发者们随着小编来一起学习吧！

转载自：https://blog.csdn.net/huang1024rui/article/details/69258689

此课老师说要名垂千古，就当作重中之重吧,讲投影,怎样投影，为什么要投影到其他子空间。

引子：

上一讲中遇到$Ax=b$无解的时候提到，当其无解的时候，我们求的解是什么？

我们想要的”最优解”对于原方程偏差最小，我们知道$Ax=b$有解时$b$在$A$的列空间（$b$可以由$A$的列向量线性表示）中；当无解时，我们取$b$在$A$的列空间的${b}'$，$Ax=b'$理论上是”最优解”。

1.投影矩阵

1.1 二维欧式空间的投影

如图$\vec{b}$到$\vec{a}$的最短距离是b在a上的投影是p，a垂直于e，e就像误差e=b-p，e与p互相垂直，p是a的某个倍数x，p=xa，它在a的一维子空间里，可得到一个方程，求解x，方程为：$(a^T)(b-xa) = 0$。

其中$(a^T)a$是一个常数，$a(a^T)$是一个矩阵。假设b变成原来的2倍，那么投影$p$也变成原来的2倍；如果a变为原来的2 倍，p则不变。

假设把上式写成：$p=Pb$,则P称为投影矩阵，可以说投影矩阵作用与某个向量后，得到其投影向量$projection_p=Pb$。

投影矩阵P的性质：

1）rank(P)=1，因为P中$a(a^T)$是一个矩阵，而a秩为1；

2）向量a是列空间的基，因为投影矩阵乘以任何向量b后仍旧在其列空间，因此投影矩阵的列空间C(P)是通过a的一条线；

3）P是对称的($P^T$)=P；

4）对投影好的$p$再次投影结果不变，所以$P^2=P$。

1.2高维空间

1）正如引子所写，为什么要做投影？

因为$Ax=b$也许会无解，可能等式太多，造成无解，那么只能求解最接近的那个可能问题。$Ax$总在$A$的列空间里，那么如果将$b$微调，将$b$变为列空间中最接近它自己的那一个，将问题换做求解$Ax'=p$（$x'$不是原来那个不存在的$x$，而是那个最接近解的$x'$，即最优解），$p$是$b$在列空间上的投影（列空间中最接近理论精确解的那一个解）这就是要找最好的那个投影的原因。

2）在三维空间中，将向量b投影在平面上A。

同样的，$p$是向量$b$在平面$A$上的投影，$e$是垂直于平面$A$的向量，即$b$在平面$A$法方向的分量。设平面$A$的一组基为$a_1,a_2$，则投影向量$p=(a_1)(x'_1)+(a_2)(x'_2)$，我们更倾向于写作$p=Ax'$，这里如果我们求出$x'$，则该解就是无解方程组最近似的解。

它与直线上的投影方程很相似，对于直线来说，矩阵A只有一列，就是一个小写的a，本质都是$(A^T)e = 0$ 。所以，e在$(A^T)$的零空间中，从前面几讲我们知道，左零空间与列空间垂直，则e与A的列空间垂直，与我们分析的几何图像的一致。

3）那么x’是什么？投影p 是什么？投影矩阵P 是什么？（与一维情况下得到的公式相比较）

2. 最小二乘法

如图，要找到一条最优的直线来拟合这些点，误差最小。我们要确定C 和D的大小，来得到b=C+Dt 方程。

根据条件可以得到方程组 $\begin{cases}C+D=1 \\C+2D =2 \\C+3D=2 \\\end{cases}$，写作矩阵形式 $\begin{bmatrix}1&1 \\1&2 \\1&3\\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C\\D\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\2\\\end{bmatrix}$，也就是我们的$Ax=b$，很明显方程组无解。

但是$A^TA\hat x=A^Tb$有解，于是我们将原是两边同时乘以$A^T$后得到的新方程组是有解的，$A^TA\hat x=A^Tb$也是最小二乘法的核心方程。

未完待续···

3.总结

1.投影矩阵及其应用；

2.解决Ax=b无解时，最优解的问题；

3.最小二乘法。

这篇关于9子空间的投影和Ax=b的文章就介绍到这儿，希望我们推荐的文章对编程师们有所帮助！

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