自动控制原理9.2：线性系统的可控性与可观测性(下)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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2.线性系统的可控性与可观测性

2.6 线性离散时间系统的可控性和可观测性

1. 线性离散系统的可控性和可达性

   设线性时变离散时间系统的状态方程为：
   $$x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),k\in T_k$$
   其中：$T_k$为离散时间定义区间；

   如果对初始时刻$l\in T_k$和状态空间中的所有非零状态$x(l)$，都存在时刻$m\in T_k,m>l$和对应的控制$u(k)$，使得$x(m)=0$，则称系统在时刻$l$为完全可控；如果对初始时刻$l\in T_k$和初始状态$x(l)=0$，存在时刻$m\in T_k,m>l$和相应的控制$u(k)$，使得$x(m)$可为状态空间中的任意非零点，则称系统在时刻$l$为完全可达；

   对于离散时间系统，不管是时变还是定常的，可控性和可达性只有在一定条件下才是等价的，其等价条件分别如下：

   • 线性离散时间系统的可控性和可达性为等价的充分必要条件：系统矩阵$G(k)$对所有$k\in [l,m-1]$为非奇异；

   • 线性定常离散时间系统：
     $$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)；k=0,1,2,\cdots ,$$
     可控性和可达性等价的充分必要条件：系统矩阵$G$为非奇异；

   • 如果线性离散时间系统是相应连续时间系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的；

   线性定常离散系统的可控性判据：设单输入线性定常离散系统的状态方程为：
   $$x(k+1)=Gx(k)+hu(k)$$
   式中：$x$为$n$维状态向量，$u$为标量输入，$G$为$n\times n$非奇异矩阵；

   线性定常离散系统状态方程的解为：
   $$x(k)=G^{k}x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}hu(i)$$
   可控性矩阵为：
   $$S_1^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}{G}^{-1}h& G^{-2}h& \cdots & G^{-n}h\end{array}\right]$$
   亦或：
   $$\mathrm{rank}{S}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}h& Gh& \cdots & G^{n-1}h\end{array}\right]=n$$
   当$\mathrm{rank}{S}_1<n$时，系统不可控，表示不存在使任意$x(0)$转移至$x(n)=0$的控制。

   多输入系统：设系统的状态方程为：
   $$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)$$
   可控性问题：能否求出无约束控制向量序列$u(0),u(1),u(2),\cdots ,u(n-1)$，使系统能从任意初态$x(0)$转移至$x(n)=0$；

   多输入系统状态方程的解：
   $$x(k)=G^{k}x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{G}^{k-1-i}Hu(i)$$
   多输入线性离散系统状态可控的充分必要条件：
   $$\mathrm{rank}{S}_2^{\prime }=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}{G}^{-1}H& G^{-2}H& \cdots & G^{-n}H\end{array}\right]=n$$
   亦或：
   $$\mathrm{rank}{S}_2=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}H& GH& \cdots & G^{n-1}H\end{array}\right]=n$$
   实例分析：

   $Example6：$ 设单输入线性定常离散系统状态方程为：
   $$x(k+1)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& -2\\ -1& 1& 0\end{array}\right]x(k)+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]u(k)$$
   判断其可控性；如初始状态$x(0)={\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\end{array}\right]}^T$，确定使$x(3)=0$的控制序列$u(0),u(1),u(2)$；

   研究使$x(2)=0$的可能性；

   解：

   依题意可知：
   $$G=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& -2\\ -1& 1& 0\end{array}\right],h=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

   $$\mathrm{rank}{S}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{ccc}h& Gh& G^{2}h\end{array}\right]=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -2& -2\\ 1& -1& -3\end{array}\right]=3=n$$

   故系统可控。

   令$k=0,1,2$，可达状态序列：
   $$\begin{array}{rl}& x(1)=Gx(0)+hu(0)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& -2\\ -1& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]u(0)=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]u(0)\\ & \\ & x(2)=Gx(1)+hu(1)=\left[\begin{array}{c}2\\ 6\\ 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right]u(0)+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]u(1)\\ & \\ & x(3)=Gx(2)+hu(2)=\left[\begin{array}{c}2\\ 12\\ 4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -3\end{array}\right]u(0)+\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -1\end{array}\right]u(1)+\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
   令$x(3)=0$，则有：
   $$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -2& -2& 0\\ -3& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u(0)\\ u(1)\\ u(2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -4\end{array}\right]$$
   其系数矩阵即可控性矩阵$S_1$是非奇异的，因而可得：
   $$\left[\begin{array}{c}u(0)\\ u(1)\\ u(2)\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ -2& -2& 0\\ -3& -1& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& -1& \frac{1}{2}\\ 1& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-2\\ -12\\ -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-5\\ 11\\ -8\end{array}\right]$$
   若令$x(2)=0$，即解方程组：
   $$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 0\\ -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u(0)\\ u(1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-2\\ -6\\ 0\end{array}\right]$$
   其系数矩阵的秩为$2$，增广矩阵：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& |& -2\\ -2& 0& |& -6\\ -1& 1& |& 0\end{array}\right]$$
   秩为$3$，两个秩不等，方程无解，意味着不能在两个采样周期内使系统由初始状态转移至原点；若该两个秩相等，则可用两步完成状态转移。

2. 线性离散系统的可观测性

   设离散系统为：
   $$\begin{array}{rl}& x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k),k\in T_k\\ & \\ & y(k)=C(k)x(k)+D(k)u(k)\end{array}$$
   若对初始时刻$l\in T_k$的任一非零初始状态$x(l)=x_0$，都存在有限时刻$m\in T_k,m>l$，且可由$[l,m]$上的输出$y(k)$唯一地确定$x_0$，则称系统在时刻$l$是完全可观测的。

   线性定常离散系统的可观测判据：设线性定常离散系统的动态方程为：
   $$x(k+1)=Gx(k)+Hu(k),y(k)=Cx(k)+Du(k)$$
   式中：$x(k)$为$n$维状态向量，$y(k)$为$q$维输出向量；

   线性定常离散系统的可观测矩阵($nq\times n$)：
   $$V_1^T=\left[\begin{array}{c}C\\ CG\\ ⋮\\ C{G}^{n-1}\end{array}\right]$$
   系统可观测的充分必要条件：
   $$\mathrm{rank}{V}_1^T=n$$
   线性定常离散系统的可观测性判据常表示为：
   $$\mathrm{rank}{V}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& G^T{C}^T& \cdots & (G^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]=n$$
   实例分析：

   $Example7：$ 已知线性定常离散系统的动态方程为：
   $$x(k+1)=Gx(k)+hu(k),y(k)=C_{i}x(k),i=1,2$$

   其中：
   $$G=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& -2& 1\\ 3& 0& 2\end{array}\right],h=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ 1\end{array}\right],c_1=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right],C_2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$$
   判断系统的可观测性，讨论可观测性的物理解释。

   解：

   当观测矩阵为$c_1$时，
   $$c_1^T=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],G^T{c}_1^T=\left[\begin{array}{c}0\\ -2\\ 1\end{array}\right],(G^T{)}^2{c}_1^T=\left[\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right]$$

   $$\mathrm{rank}{V}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 3\\ 1& -2& 4\\ 0& 1& 0\end{array}\right]=3=n$$

   故系统可观测。

   由输出方程$y(k)=c_{1}x(k)=x_2(k)$可见，在第$k$步便可由输出确定状态变量$x_2(k)$；

   由于
   $$y(k+1)=x_2(k+1)=-2x_2(k)+x_3(k)$$
   故在第$k+1$步便可确定$x_3(k)$，由于：
   $$\begin{array}{rl}y(k+2)& =x_2(k+2)=-2x_2(k+1)+x_3(k+1)\\ & \\ & =-2[-2x_2(k)+x_3(k)]+3x_1(k)+2x_3(k)\\ & \\ & =4x_2(k)+3x_1(k)\end{array}$$
   故在第$k+2$步便可确定$x_1(k)$。

   该系统为三阶系统，可观测意味着至多三步便可由输出$y(k),y(k+1),y(k+2)$的测量值来确定三个状态变量；

   当观测矩阵为$C_2$时，
   $$C_2^T=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]，G^T{C}_2^T=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 0\\ 2& -1\end{array}\right]，(G^T{)}^2{C}_2^T=\left[\begin{array}{cc}9& -2\\ 0& 0\\ 1& -3\end{array}\right]$$

   $$\mathrm{rank}{V}_1=\mathrm{rank}\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 3& 1& 9& -2\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 2& -1& 1& -3\end{array}\right]=2\ne n=3$$

   故系统不可观测。

   根据动态方程可导出：
   $$\begin{array}{rl}& y(k)=\left[\begin{array}{c}{x}_3(k)\\ x_1(k)\end{array}\right]\\ & \\ & y(k+1)=\left[\begin{array}{c}{x}_3(k+1)\\ x_1(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1(k)+2x_3(k)\\ x_1(k)-x_3(k)\end{array}\right]\\ & \\ & y(k+2)=\left[\begin{array}{c}{x}_3(k+2)\\ x_1(k+2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3x_1(k+1)+2x_{3}x(k+1)\\ x_1(k+1)-x_3(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}9x_1(k)+x_3(k)\\ -2x_1(k)-3x_3(k)\end{array}\right]\end{array}$$
   三步的输出测量值中始终不含$x_2(k)$，故$x_2(k)$是不可观测状态变量，只要有一个状态变量不可观测，则称系统不完全可观测，简称不可观测.

3. 连续动态方程离散化后的可控性和可观测性

   一个可控的或可观测的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其可控性或可观测性，连续系统可控或可观测时，若采样周期选择不当，对应的离散化系统便有可能不可控或不可观测，也有可能既不可控又不可观测；若连续系统不可控或不可观测，不管采样周期如何选择，离散化后的系统一定是不可控或不可观测的；

2.7 线性定常系统的线性变换

2.7.1 状态空间表达式的线性变换

设系统动态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu,y=cx$$
令$x=P\overline{x}$，其中$P$为非奇异线性变换矩阵，将$x$变换为$\overline{x}$，变换后动态方程为：
$$\dot{\overline{x}}=\overline{A}\overline{x}+\overline{b}u,\overline{y}=\overline{c}\overline{x}=y$$
其中：
$$\overline{A}=P^{-1}AP,\overline{b}=P^{-1}b,\overline{c}=cP$$
称为对系统进行$P$变换，对系统进行线性变换的目的在于使$\overline{A}$阵规范化；

【化$A$阵为对角型】

1. 设$A$阵为任意形式的方阵，且有$n$个互异实数特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则可由非奇异线性变换化为对角阵$\Lambda$：

$$\Lambda =P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

$P$阵由$A$的实数特征向量$p_i(i=1,2,\cdots ,n)$组成：
$$P=\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_n\end{array}\right]$$
特征向量满足：
$$A{p}_i={\lambda }_i{p}_i,i=1,2,\cdots ,n$$

2. 若$A$阵为友矩阵，且有$n$个互异实数特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则下列的范德蒙特$(\mathrm{Vandermode})$矩阵$P$可使$A$对角化：

$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],P=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\lambda }_1& {\lambda }_2& \cdots & {\lambda }_n\\ {\lambda }_1^2& {\lambda }_2^2& \cdots & {\lambda }_n^2\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ {\lambda }_1^{n-1}& {\lambda }_2^{n-1}& \cdots & {\lambda }_n^{n-1}\end{array}\right]$$

【化$A$阵为约当型】

设$A$阵具有$m$重实特征值${\lambda }_1$，其余为$n-m$个互异实特征值，在求解$A{p}_i={\lambda }_1{p}_i$时，只有一个独立实特征向量$p_1$，则只能使$A$化为约当阵$J$.
$$J=P^{-1}AP=\left[\begin{array}{ccccccc}{\lambda }_1& 1& & & & & \\ & {\lambda }_1& \ddots & & & & \\ & & \ddots & 1& & & \\ & & & {\lambda }_1& & & \\ & & & & {\lambda }_{m+1}& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

$$P=\left[\begin{array}{cccccccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m& |& p_{m+1}& \cdots & p_n\end{array}\right]$$

式中，$p_2,p_3,\cdots ,p_m$是广义实特征向量，满足：
$$\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 1& & \\ & {\lambda }_1& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_1\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{cccc}{p}_1& p_2& \cdots & p_m\end{array}\right]$$
$p_{m+1},\cdots ,p_n$是互异特征值对应的实特征向量；

【化可控系统为可控标准型】

单输入线性定常系统状态方程的可控标准型：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}\\ {\dot{x}}_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_{n-1}\\ x_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]u$$
一个可控系统，当$A,b$不具有可控标准型时，一定可以选择适当的变换化为可控标准型；

设状态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu$$
进行$P^{-1}$变换，即令：
$$x=P^{-1}z$$
变换为：
$$\dot{z}=PA{P}^{-1}z+Pbu$$
要求：
$$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right],Pb=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$
变换矩阵$P^{-1}$的求法：

1. 计算可控性矩阵$S=\left[\begin{array}{cccc}b& Ab& \cdots & A^{n-1}b\end{array}\right]$；

2. 计算可控性矩阵的逆阵$S^{-1}$，设一般形式为：

$$S^{-1}=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{11}& S_{12}& \cdots & S_{1n}\\ S_{21}& S_{22}& \cdots & S_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ S_{n1}& S_{n2}& \cdots & S_{nn}\end{array}\right]$$

3. 取出$S^{-1}$的最后一行(即第$n$行)构成$p_1$行向量，

$$p_1=\left[\begin{array}{cccc}{S}_{n1}& S_{n2}& \cdots & S_{nn}\end{array}\right]$$

4. 构造$P$阵

$$P=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_{1}A\\ ⋮\\ p_1{A}^{n-1}\end{array}\right]$$

5. $P^{-1}$是将非标准可控系统化为可控标准型的变换矩阵。

2.7.2 对偶原理

设系统为${\Sigma }_1(A,B,C)$，则系统${\Sigma }_2(A^T,C^T,B^T)$为系统${\Sigma }_1$的对偶系统；

其动态方程分别为：
$$\begin{array}{rl}& {\Sigma }_1：\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx\\ & \\ & {\Sigma }_2：\dot{z}=A^{T}z+C^{T}v,w=B^{T}z\end{array}$$
式中：$x、z$均为$n$维状态向量，$u、w$均为$p$维向量，$y、v$均为$q$维向量；

系统${\Sigma }_1$的可控性判别矩阵$\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]$与对偶系统${\Sigma }_2$的可观测性矩阵$\left[\begin{array}{cccc}(B^T{)}^T& (A^T{)}^T(B^T{)}^T& \cdots & ((A^T{)}^T{)}^{n-1}(B^T{)}^T\end{array}\right]$完全相同；系统${\Sigma }_1$的可观测性矩阵$\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& A^T{C}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]$与对偶系统${\Sigma }_2$的可控性判别矩阵$\left[\begin{array}{cccc}{C}^T& A^T{C}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{C}^T\end{array}\right]$完全相同；

应用对偶原理，能把可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题；

设单输入-单输出系统动态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu,y=cx$$
系统可观测，但$A、c$不是可观测标准型；其对偶系统动态方程为：
$$\dot{z}=A^{T}z+c^{T}v,w=b^{T}z$$
对偶系统一定可控，但不是可控标准型；

利用已知的化为可控标准型的原理和步骤：

先将对偶系统化为可控标准型，再一次使用对偶原理，即可获得原系统的可观测标准型；

计算步骤：

1. 列出对偶系统的可控性矩阵(即原系统的可观测性矩阵$V_1$)

$${\overline{S}}_2=V_1=\left[\begin{array}{cccc}{c}^T& A^T{c}^T& \cdots & (A^T{)}^{n-1}{c}^T\end{array}\right]$$

2. 求$V_1$的逆阵$V_1^{-1}$，且记为行向量组：

$$V_1^{-1}=\left[\begin{array}{c}{v}_1^T\\ v_2^T\\ ⋮\\ v_n^T\end{array}\right]$$

3. 取$V_1^{-1}$的第$n$行$v_n^T$，并按下列规则构造变换矩阵$P$：

$$P=\left[\begin{array}{c}{v}_n^T\\ v_n^T{A}^T\\ ⋮\\ v_n^T(A^T{)}^{n-1}\end{array}\right]$$

4. 求$P$的逆阵$P^{-1}$，并引入$P^{-1}$变换，即$z=P^{-1}\overline{z}$，变换后动态方程为：

$$\dot{\overline{z}}=P{A}^T{P}^{-1}\overline{z}+P{c}^{T}v,\overline{w}=b^T{P}^{-1}\overline{z}$$

5. 对对偶系统再利用对偶原理，即可获得原系统的可观测标准型，结果为：

$$\begin{array}{rl}& \dot{\overline{x}}=(P{A}^T{P}^{-1}{)}^T\overline{x}+(b^T{P}^{-1}{)}^{T}u=P^{-T}A{P}^T\overline{x}+P^{-T}u\\ & \\ & \overline{y}=(P{c}^T{)}^T\overline{x}=c{P}^T\overline{x}\end{array}$$

将原系统化为可观测标准型需要进行$P^T$变换，即令：
$$x=P^T\overline{x}$$
其中：
$$P^T=\left[\begin{array}{cccc}{v}_n& A{v}_n& \cdots & A^{n-1}{v}_n\end{array}\right]$$
$v_n$为原系统可观测性矩阵的逆阵中第$n$行的转置；

2.7.3 非奇异线性变换的不变特性

• 将$A$阵对角化或约当化，需要进行$P$变换；
• 将$A,b$化为可控标准型，需要进行$P^{-1}$变换；
• 将$A,c$化为可观测标准型，需要进行$P^T$变换；
• 系统经过非奇异线性变换，其特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等均保持不变；

设系统动态方程为：
$$\dot{x}=Ax+bu,y=Cx+Du$$
令$x=P\overline{x}$，变换后动态方程为：
$$\dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}Bu,y=\overline{y}=CP\overline{x}+Du$$

1. 变换后系统特征值不变；
2. 变换后系统传递矩阵不变；
3. 变换后系统可控性不变；
4. 变换后系统可观测性不变；

2.7.4 线性定常系统的结构分解

系统中有一个状态变量不可控便称系统不可控，因而不可控系统含有可控和不可控两种状态变量；系统中有一个状态变量不可观测称系统不可观测，不可观测系统含有可观测和不可观测两种状态变量；状态变量可分为：可控可观测$x_{co}$、可控不可观测$x_{c\overline{o}}$、不可控可观测$x_{\overline{c}o}$、不可控不可观测$x_{\overline{c}\overline{o}}$四类；

结构分解过程可先从整个系统的可控性分解开始，将可控与不可控的状态变量分离开，然后分别对可控和不可控子系统进行可观测性分解，即可分解成四类；

1. 系统按可控性的结构分解

   设不可控系统的动态方程为：
   $$\dot{x}=Ax+Bu,y=Cx$$
   式中：$x$为$n$维状态向量，$u$为$p$维输入向量，$y$维q维输出向量，$A、B、C$为具有相应维数的矩阵；

   若系统可控性矩阵的秩为$r(r<n)$，则可从可控性矩阵中选出$r$个线性无关的列向量$s_1,s_2,\cdots ,s_r$，另外再任意选取尽可能简单的$n-r$个$n$维列向量$s_{r+1},s_{r+2},\cdots ,s_n$，使它们与 { s 1 , s 2 , ⋯ , s r } \{s_1,s_2,\cdots,s_r\} {s1​,s2​,⋯,sr​}线性无关，这样就构成$n\times n$非奇异变换矩阵：
   $$P^{-1}=\left[\begin{array}{cccccccc}{s}_1& s_2& \cdots & s_r& |& s_{r+1}& \cdots & s_n\end{array}\right]$$
   对上式进行非奇异线性变换：
   $$x=P^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ x_{\overline{c}}\end{array}\right]$$
   变换为下列的规范形式：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_c\\ {\dot{x}}_{\overline{c}}\end{array}\right]=PA{P}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ x_{\overline{c}}\end{array}\right]+PBu,y=C{P}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_c\\ x_{\overline{c}}\end{array}\right]$$
   式中：$x_c$为$r$维可控状态子向量，$x_{\overline{c}}$维$n-r$维不可控状态子向量，且：
   $$PA{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\overline{A}}_{11}& {\overline{A}}_{12}\\ 0& {\overline{A}}_{22}\end{array}\right]\begin{array}{c}r行\\ n-r行\end{array},PB=\left[\begin{array}{c}{\overline{B}}_1\\ 0\end{array}\right]\begin{array}{c}r行\\ n-r行\end{array}，C{P}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}{\overline{C}}_1& |& {\overline{C}}_2\end{array}\right]\begin{array}{c}q行\end{array}$$
   即有：
   $$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_c={\overline{A}}_{11}{x}_c+{\overline{A}}_{12}{x}_{\overline{c}}+{\overline{B}}_{1}u，{\dot{x}}_{\overline{c}}={\overline{A}}_{22}{x}_{\overline{c}}\\ & \\ & y={\overline{C}}_1{x}_c+{\overline{C}}_2{x}_{\overline{c}}\end{array}$$
   可控子系统动态方程为：
   $${\dot{x}}_c={\overline{A}}_{11}{x}_c+{\overline{A}}_{12}{x}_{\overline{c}}+{\overline{B}}_{1}u,y_1={\overline{C}}_1{x}_c$$
   不可控子系统动态方程为：
   $${\dot{x}}_{\overline{c}}={\overline{A}}_{22}{x}_{\overline{c}},y_2={\overline{C}}_2{x}_{\overline{c}}$$
   系统可控性规范分解的系统方块图如下图所示：

   

   系统结构的可控性规范分解的特点：

   1. 不可控系统与其可控子系统具有相同的传递函数矩阵；如果从传递特性的角度分析系统$(A,B,C)$，可以等价地用分析子系统$({\overline{A}}_{11},{\overline{B}}_1,{\overline{C}}_1)$来代替；

   2. 不可控子系统的特性与整个系统的稳定性及输出响应有关；

      输入$u$只能通过可控子系统传递到输出，与不可控子系统无关，故$u$到$y$之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特性；

   3. 不可控系统的可控性规范分解是不唯一的。

   4. 不可控系统的可控性规范分解将整个系统的特征值分解为可控因子与不可控因子两类；

      $x_c$的稳定性完全由${\overline{A}}_{11}$的特征值${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$决定；$x_{\overline{c}}$的稳定性完全由${\overline{A}}_{22}$的特征值${\lambda }_{r+1},\cdots ,{\lambda }_n$决定，而${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$都是$A$的特征值，${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$称为系统$(A,B,C)$的可控因子或可控振型，${\lambda }_{r+1},\cdots ,{\lambda }_n$称为不可控因子或不可控振型；

2. 系统按可观测性的结构分解

   设不可观测系统的动态方程为：
   $$\dot{x}=Ax+bu,y=Cx$$

   式中：$x$为$n$维状态向量，$u$为$p$维输入向量，$y$为$q$维输出向量；

   系统的可观测性矩阵为：
   $$V=\left[\begin{array}{c}C\\ CA\\ ⋮\\ C{A}^{n-1}\end{array}\right]$$
   $\mathrm{rank}V=l(l<n)$，在$V$中任意选取$l$个线性无关的行向量$t_1,t_2,\cdots ,t_l$，此外再选择$n-l$个与之线性无关的行向量$t_{l+1},\cdots ,t_n$构成非奇异线性变换矩阵：
   $$T=\left[\begin{array}{c}{t}_1\\ ⋮\\ t_l\\ t_{l+1}\\ ⋮\\ t_n\end{array}\right]$$
   对不可观测系统进行非奇异线性变换：
   $$x=T^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_o\\ x_{\overline{o}}\end{array}\right]$$
   可得系统结构按可观测性分解的规范表达式：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_o\\ {\dot{x}}_{\overline{o}}\end{array}\right]=TA{T}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_o\\ x_{\overline{o}}\end{array}\right]+TBu,y=C{T}^{-1}\left[\begin{array}{c}{x}_o\\ x_{\overline{o}}\end{array}\right]$$
   式中：$x_o$为$l$维可观测状态子向量，$x_{\overline{o}}$维$n-l$维不可观测状态子向量，且：
   $$TA{T}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{A}}_{11}& 0\\ {\hat{A}}_{21}& {\hat{A}}_{22}\end{array}\right]，TB=\left[\begin{array}{c}{\hat{B}}_1\\ {\hat{B}}_2\end{array}\right],C{T}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{C}}_1& 0\end{array}\right]$$
   展开：
   $$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_o={\hat{A}}_{11}{x}_o+{\hat{B}}_{1}u\\ & {\dot{x}}_{\overline{o}}={\hat{A}}_{21}{x}_o+{\hat{A}}_{22}{x}_{\overline{o}}+{\hat{B}}_{2}u\\ & y={\hat{C}}_1{x}_o\end{array}$$
   可观测子系统动态方程为：
   $${\dot{x}}_o={\hat{A}}_{11}{x}_o+{\hat{B}}_{1}u,y_1=\hat{C}{x}_o=y$$
   不可观测子系统动态方程为：
   $${\dot{x}}_{\overline{o}}={\hat{A}}_{21}{x}_o+{\hat{A}}_{22}{x}_{\overline{o}}+{\hat{B}}_{2}u,y_2=0$$
   系统可观测性规范分解方块图如下图所示：